95%信頼区間が[1/7,1/5]ですね。あなたの定義だと95%信頼区間というのは

P( α<X<β ) = 0.95

となる [α、β] なんでしょ?じゃあ、各面の確率うまく設定すれば

P( α<X<β ) = 0.95 の解が (α,β) = (1/7,1/5)

となる p1,...,p_6 を与えればいい。