高木貞治 『解析概論』

高木貞治 『解析概論』

代数学（群、環、体ガロア理論）

雪江　代数学 1, 2
これ一択
洋書含めても最強の教科書

代数幾何の予備知識としていいのは

堀田　代数入門
永田　可換体論

の2冊
永田は3章以降が便利で、基礎体が代数閉体とは限らない時の代数幾何、局所体でない付値体、無限次ガロア理論などが必要になった時に役に立つ
どちらも具体例はほぼゼロ

これも完璧にするよりも、さっさと代数幾何・整数論・表現論などの興味ある研究に進んで、必要になったら復習するのがいい

多様体

Tu, Introduction to Manifolds

これが一番いいんじゃないか
線形代数の復習が入ってるし、ユークリッド空間内の話から始めているし、ベクトル束や関手などを使っていて説明が現代的だし、例が豊富だし、ド・ラムコホモロジー群の計算例もある
ページ数は多いが、行間が少なく、ほとんどが説明や計算例なので、わりとサクサク読めるはず


代数トポロジー

河澄　トポロジーの基礎 上, 下
これ一択
代数トポロジーは、初学者向けで本格的なレベルまで載ってる本がほとんど無かったのが、これで解決した

ルベーグ積分

伊藤　ルベーグ積分入門
Rudin, Real and Complex Analysis

ルベーグ積分は、何を読んだって苦痛だから　
このふたつの気に入ったほうを読めばいい

コーシーの積分定理の証明についてですが、シンプルな多角形は三角形に分割できることが証明なしに使われています。
ちゃんと証明するにはどうすればいいですか？

>>9
小林昭七さんの本のどこがいいのかさっぱり分かりません。
笠原さんの本も好きになれません。リーマン積分は確か主に連続関数の場合しか扱ってなかったですよね？

>>10

James R. Munkres著『Topology Second Edition』がベストです。

>>12

雪江さんの本ってそんなにいいですか？
Michael Artin著『Algebra Second Edition』のほうがいいと思います。

>>9

Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right Fourth Edition』がスッキリしていて分かりやすいと思います。
テンソルについても初歩的な部分が書いてあります。

>>13

James R. MunkresさんがAlgebraic Topologyの本を書いていますね。
きっと、ベストなのではないでしょうか？

>>13

Leeさんの本のほうが分厚いですね。

>>14

伊藤清三さんの本は何か洗練されていない感じがします。それがいいところなのかもしれませんが。

Sheldon Axlerさんの本がベストだと思います。

志賀浩二さんの『複素数30講』ですが、もちろんいい加減な本なのですが、正則関数がいかに特殊な関数であるかについてしつこく書いてあって、30講シリーズの中ではためになる本だと思いました。
この本を流し読みした後に、普通の本で留数定理あたりまでの議論の穴埋めをするのがいいのではないかと思いました。

解析概論は基礎になる複素線積分の詳細を省いていますが、読みやすいですね。
∫_{C} a + b * z dz を例で具体的に計算していたり、 f がある領域で正則で、導関数が 0 ならば定数になるということを例で示していたりします。
一般論から分かることですが、その前に例で証明しているのがいいと思います。
f がある領域で正則で、 |f| が定数ならば、 f が定数であることも例で証明しています。

>>18
雪江のほうがいい
Artinの上位互換
この二つを比べてArtinが良いと言うのは、それは読んでいないということだ

確かに雪江さんの本は第1版の第1巻の、確認する必要のあった定理の証明だけを見たことがあるだけです。
ですが、説明が分かりやすいとは思いませんでした。

Artinさんの本は線形代数について沢山書いてあったり、雪江さんの本とは似ていないと思います。

多様体の基礎は、読んでる人が多いからか躓く人も多いのだが
で、躓いた箇所を見てみるとたしかに分かりづらい書き方になっている
まあ、しかしほかの本にはもっと分かりづらいところがあるのだろう

Artinさんの本は定理のステートメントの前の説明が非常に分かりやすいと思います。

tu は初学者にいい

lee は700ページもあるが、頑張れば通読可能と思われる

warnerは層係数コホモロジーを扱っていて、ホッジの分解定理を示している
しかし、そこまでやるならgriffiths-harrisやwells、和書なら小林複素幾何を読めばいい気がする

代数トポロジーは一冊で完結しない
代数トポロジストにとっての代数トポロジーの本はあるんだろうが、
FultonのAlgebraic Topologyのような代数幾何学者のための代数トポロジーみたいな本がなかなかない
整数論やるための測度論だとか、表現論やるための関数解析だとか、そういうのはわりとあるのだが

佐武一郎さんの『現代数学の源流』という本に『解析概論』を読めるのは日本人の特権だみたいなことが書いてありましたが、そこまでの本ですか？

欠点はやはり証明がスケッチ風で、究極的な細部まで書かれていないことだと思います。
志賀浩二さんの本をまともにした感じの本だと思います。

他の本で詳しく勉強した後で、小説を読むように読むのに良い本という感じではないでしょうか？

「概論」が名著で
「外伝」が真実

ω = dη
∫ ω = ∫ dη = ∮η

なんで2変数以上の変数変換公式は難しいの？

>>15

シンプルな多角形が三角形に分割できることの証明ですが、以下のような感じでどうでしょうか？

シンプルな多角形が凸な場合には、任意の頂点 i と隣接する頂点 i - 1, i + 1 の3点を頂点とする三角形は問題の多角形の部分集合です。
その三角形を取り除いた多角形もシンプルな凸多角形で頂点の数は 1 減っています。
あとは、頂点の数に関する帰納法で証明します。

凹んでいる場合ですが、凹んでいる三角形の頂点 i - 1, i, i + 1 を考えます。
頂点 i - 1 と i + 1 を結び、凹んでいる多角形の凹んでいる部分を「修復」します。
凹みがなくなるまでこの作業を繰り返します。
作業完了後、凸多角形ができあがります。
この凸多角形は三角形に分割できます。

ここからどうすればいいですかね？
「修復する」ために使用した三角形をすべて除去した後に残されたオリジナルの多角形に分割の線がひかれていますが、それは一般には三角形分割ではありません。

逆にやめたほうがいい本

Rudin, Principles of Mathematical Analysis

>>36

その本は多変数のところを読んでいませんが、厳密なんですか？
もし、1変数の部分同様のクオリティならば読んでみたいのですが、多変数の部分の評判は芳しくないようです。

小平解析入門を名著という人の意見はよくわかりません
あの本のオリジナルの部分（初等函数をべき級数や複素積分によらずに構成しているところや、和と極限の順序交換の一様収束よりも緩い十分条件を与えているところ）は、ほとんど実用性がありません
そして、未定乗数法やベクトル解析などの他の多くの本に載っている重要事項が省略されてしまっています

>>38

変わった本ではありますが、書かれている部分に関しては、ネチネチと極めて丁寧に書かれています。

>>38

三角関数の定義の部分ですが、著者の考えでは発見的に書いているつもりなのでしょうが、ちょっと納得できません。

>>34
難しいことはない

溝畑茂さんの本の良さが全く分かりません。

わからなくても死なない

>>38
ルベーグ積分をやれば済むことを無駄に詳細にやっている
副読書として「そういう話題もある」と楽しむ分にはいいが、メインの教科書にはならない

>>36
Rudinは多変数の積分をコンパクト台をもつ連続関数に限定していて計算例がほとんどないから、初学者がこれを読んで重積分の広義積分を習得するのはまず不可能

溝畑の下巻は、素直に多様体と複素解析に進んだほうがいい
ただし陰関数定理は逐次近似法で短く証明していてよい

高木も小平も溝畑も、読者のためではなく、自分のために書いている

計算例は留数の場合は５つほど必要だが
重積分の場合は４つくらい

>>46

＞高木も小平も溝畑も、読者のためではなく、自分のために書いている

これはそう思います。
巨匠気取りの人の本によくあることですが。

ID:Ys+Z3aDPさん
施されるだけではなく与えることを覚えましょう
独り言ではなくコミュニケーションを覚えましょう

小平さんは台所で本を書いていたそうですね。
おそらく隠居老人の趣味で書いているだけですよね。
盆栽を育てている感覚だったのではないでしょうか。

しょっちゅうエネルギー補給が必要だったからではないか

>>9
小林微分積分読本も、
変数変換公式を有開閉領域の場合にしか示していないのに

∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞ exp(x^2 + y^2) dx dy
= ∫_0^2π ∫_0^∞ exp(r^2) r dr dθ

と断りなく変形しています

>>52

小林さんはいい加減なので全く驚きません。

いろいろと目を通してなさるのね

>>52
一松信は、これちゃんと厳密に成り立つことを示してる
溝畑は、変数変換公式自体を、積分が絶対収束する場合にまで拡張している（ただ、ここまでやるならルベーグ積分でいい気はする）

参考書オタクの粗探し
本人はトリビアを披露して得意げ
はたから見たらみっともないだけ

宮島静雄は、見てないけど、「広義積分に対する変数変換」というそのまんまな節があるので、おそらく正確にやっているのでしょう

数学のスレは盛り上がらないのに、数学書のスレは大盛り上がり
どうせ買っただけで大して読んでないんだろ？（笑）

買ってもいないかもしれない

微分積分の現代化

微分積分いい気分

予備校の先生が書いた線形代数の本を読んでいるのだが、無駄な修飾語が多くて気になる。
目覚ましい応用、極めて明確に、もっとも著しい特徴、より濃密な考察などなど。
学生にとっては印象に残って勉強した気になるのかもしれないけど、我々にとっては論理の連鎖だけの方がいい。
脳内に無駄なノイズが入ってくる感覚だわ。

数学者の書いた線形代数の本読めよ

というか、予備校講師の書いた本を読む意味が分からない
数学に興味があるなら数学者の書いた本を読むべきだし、物理や工学に興味があるなら、物理学者や工学者の書いた本を読むべき
予備校講師が書いた線形代数に何を求めてるの？

逆にいうと頭が高校生なんだろ

>>63
読み始めたんで惰性で読んどった。
あと、長岡先生という人の本で、以前放送大学で講義してるところを見たことがあったんで。
人には薦めないな。

オフコースの小田和正さんと同級生だった人ですね。
あんな人でも数学が得意な人という位置づけだったそうですね。

線形代数は特に本を丁寧に読まなくても
２点を通る直線と
３点を通る平面について
素心深考してみれば大体の見当はついてくる

>>64
俺もどちらかというと議論がチャランポラン扱いされる幾何学系寄りな私文の学部卒止まりだけど
山本義隆マンセーするならアーノルドの解析力学の教科書を読むわ。

>>68
天狗ザルの定理でしたっけ？

>>69
学部卒止まりで幾何学寄りってどういうこと？
学部卒止まりならたとえ数学科卒業でも専門なんか無いだろう。

私文の学部卒って時点で意味不明

マセマはなぜ批判されるの？

>>70
ガウスの遺稿

文系の場合、計算中心の微積分と行列の授業があるならマシな方。
演習がついていることはほぼない。
ただでさえ苦手意識を持っている学生が多いのに、そんなんで身に付くわけがない。

近くの私立大では工学部より文系のほうが
数学の成績が良いそうだ

定員が埋まらない地方の工学部では、文系入試をやっているところもあるとか。
エンジニアとして卒業させていいんだろうか。
東大なんかは文系でもガンガン数学をやらせればいいと思う。
無理やりでも勉強させればマスターする脳ミソはあるだろ。
せっかく東大に入った以上、退学にはなりたくないだろうから、きっと必死で勉強するよ。

微分積分の教科書の書き方についてですが、まず複素微分を説明して、色々な複素関数の性質を説明した後で、実微分を紹介するというのはどうでしょうか？

実微分の特殊性を強調しながら、実微分積分学を展開する教科書というのも面白いかもしれませんよね。

p進解析と並行してやってほしい

Weierstrassの二重級数定理：

f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …)

は正則で、また F(z) = Σ_{n=0}^{∞} f_n(z) は |z - z_0| ≦ ρ （ρ は ρ < r なる任意の正数）なるとき、
一様に収束するとする。
然らば a_k^(0) + a_k^(1) + … + a_k^(n) + … = Σ_{n=0}^{∞} a_k^(n) = A_k は収束して、
|z - z_0| < r なるとき F(z) = Σ_{k=0}^{∞} A_k (z - z_0)^k.

上の定理において、「f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …) は正則」と仮定しているのはなぜでしょうか？
これはべき級数であるため、自動的に収束円内で正則になるのではないでしょうか？

消えろ

43. 絶対収束・条件収束

正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。

この証明が粗雑ですね。

『定本解析概論』のp.156に「広い意味で、加法の結合律が成り立つのである。」と書いてありますが、「交換律」ですよね。

Σ a_n について考える。
Σ a_n は正項級数ではないとする。
Σ a_n が負項級数の場合には、正項級数の理論に帰着するから、負項級数でもないとする。
Σ a_n の負項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は正項級数の有限個の項を負項に変えて得られる級数だから、正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は負項級数の有限個の項を正項に変えて得られる級数だから、負項級数の理論に帰着する。負項級数の理論は正項級数の理論に帰着するから、この場合も結局正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数も負項の個数も無数にあるとする。
Σ a_n の第 i 番目の正項を p_i とする。
Σ a_n の第 i 番目の負項を -q_i とする。
Σ a_n が絶対収束する場合には、 Σ p_i ≦ Σ |a_n|, Σ q_i ≦ Σ |a_n| だから Σ p_i, Σ q_i ともに収束する。
p := Σ_{i=1}^{∞} p_i, q := Σ_{i=1}^{∞} q_i とする。

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題を使うと、 Σ |a_n| = Σ p_i + Σ q_i が成り立つことが分かる。

ε を任意の正の実数とする。
n > N_p ならば、 |Σ_{i=1}^{n} p_i - p| < ε/2, n > N_q ならば、 |Σ_{i=1}^{n} q_i - q| < ε/2 が成り立つとする。
p_i = a_{φ(i)}, -q_i = a_{ψ(i)} とする。
N_1 := max {φ(1), φ(2), …, φ(N_p)}, N_2 := max {ψ(1), ψ(2), …, ψ(N_q)} とする。
n > max {N_1, N_2} ならば、 |Σ_{i=1}^{n} a_i - (p - q)| = |(Σ_{i=1}^{l} p_i - p) - (Σ_{i=1}^{m} q_i - q)|
≦ |Σ_{i=1}^{l} p_i - p| + |Σ_{i=1}^{m} q_i - q| < ε/2 + ε/2 = ε が成り立つ。
よって、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

逆に、 Σ p_i, Σ q_i がともに収束するとする。
p_1, q_1, p_2, q_2, … という数列を (b_i) とする。
Σ_{i=1}^{n} b_i ≦ Σ p_i + Σ q_i だから Σ b_i は収束する。
数列 (b_i) を並べ替えれば数列 (|a_i|) が得られるから、
Σ |a_i| も収束して、 Σ |a_i| = Σ b_i が成り立つ。
よって、 Σ a_i は絶対収束する。
前半の議論から、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

以上の結果をまとめると、

「Σ a_n が絶対収束する ⇔ Σ p_i, Σ q_i が収束する」が成り立つ。
上のどちらかが成り立てば、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

43の条件収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。

訂正します：

43の絶対収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。

高木貞治さんは、 Σ p_i, Σ q_i が収束するときに、 Σ a_i が絶対収束することを証明していません。

高木貞治さんは、

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

を証明するだけではなく、

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、各部分級数が収束の場合、 Σa_n も収束する。」

も証明すべきだったということですね。

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題ですが、有名なオイラー公式を証明するときに、 sin のパートと cos のパートに分けるときに必要になりますよね。

藤田宏先生の「大学での微分積分１、２」って、あまり話題にならないけど、どうなんだろう。
曲がりなりにも大物が書いた大著だが。

つづきとして関数解析もある。

リーマンの定理

　絶対収束しないが条件収束をする実数級数は、
項の順序をうまく変更することで、任意の実数値に収束するように、
（あるいは発散するようにも）変形できる。

こういうことを書いてある本をあまり見かけないようだった。

「45. 収束の判定法（条件収束）」のp.165に

「若干項の和は絶対値において (p + q) / (2 * n) よりも小である」と書いてありますが、これ間違っていますよね。

>>94
今どきそんな定理を細かくやるよりももっと優先してやるべきことがある

>>96

斎藤毅さんが同じことを書いていました。
ですが、そういうことを徹底していくと、本当につまらない本になってしまうと思います。

>>95

についてですが、「1/n よりも小である」というのがもっとも自然な評価だと思います。

斎藤毅さんには、何のために数学を勉強するのか？と訊いてみたいです。

「次の数学の分野を勉強するため」としか考えていないのではないでしょうか？

π が無理数であることの証明や e が超越数であることの証明などは書くべきだと思います。

『解析概論』は適度に遊びがあるところがいいと思います。

>>100

Michael Spivakさんの本はやさしい入門書ですが、ちゃんと書いてあります。

226事件が起きた頃に書かれていたような本を批判していてもしかたがない。
まるでその後に解析学が進歩していなかったかのような印象をあたえる。

解析概論の数学のスタイルはいまとなってはとても古いと思う。
たとえば関数のクラス、Cn級の関数というような話がはっきりと
書かれていただろうか？

本来広い範囲の内容をカバーする講座ものの中の１冊だけを、
単独で売り続けることは少し考えものだと思う。なぜなら講座
もののうちの１冊であったときには、同じ講座もののなかの
それ以外の書籍を読者は参照したり、別途買ったりして読み得る
状況だったのに、時代が移ってそれらその本以外の書籍が手に
入らないかあるいは読者にとってそれら前提知識が何に書かれて
いるかあるいはそういう書籍の存在が容易に想像がつかない形で
売られてしまうからだ。
　高木貞二の本として、解析概論、代数学講義、初等整数論講義、
代数的整数論の４つが主だった数学書だろうと思うが、ではこれら
の４冊を読めば、それら全部が理解できるか、たとえば代数的整数論
に書かれている内容が把握できるかといえば断じてＮＯだ。たとえば
ガロア理論については他書を読んで理解していることを暗黙に前提と
して書かれていると思うが、本文中ではガロア理論についてはＸＸＸ
などを読むと良いというようなヒントとか指示はしていなかったと思う。
代数学講義にはアーベルの理論はその姿を概ね再現する形で出てはいて
も、ガロアの理論の解説にまでは至っていなかったと思う。

高木貞治は数学者だが
高木貞二は確か心理学者

『定本解析概論』p.173

s(x) の微分の計算ですが、右側微分が存在することしか証明していません。

p.172の(C')で定義域が [a, b) となっています。
不自然だと思って、TeX化される前の解析概論を調べたところ、 [a, b] となっていました。

>>106

>s(x) の微分の計算ですが、右側微分が存在することしか証明していません。

別に左側微分が証明することも同時に簡単に示せるにもかかわらず、こういう気まぐれを起こします。

算術幾何平均はよく引用される

dx=Δｘの欺瞞を一生許さない

確かにそこでは引っかかった

しかしもう忘れた

>>44
小平解析入門は昔から評価が割れるけど、よく見かける「教科書に使うのは難しい…」っていう意見はそういう意味なんだね。
でも関数論が専門の先生（かなり若い人）が、解析の入門で1冊を選ぶなら小平解析入門ってツイッターで言ってたよ。
かなり有名な人。