高木貞治 『解析概論』

>>9
小林昭七さんの本のどこがいいのかさっぱり分かりません。
笠原さんの本も好きになれません。リーマン積分は確か主に連続関数の場合しか扱ってなかったですよね？

>>10

James R. Munkres著『Topology Second Edition』がベストです。

>>12

雪江さんの本ってそんなにいいですか？
Michael Artin著『Algebra Second Edition』のほうがいいと思います。

>>9

Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right Fourth Edition』がスッキリしていて分かりやすいと思います。
テンソルについても初歩的な部分が書いてあります。

>>13

James R. MunkresさんがAlgebraic Topologyの本を書いていますね。
きっと、ベストなのではないでしょうか？

>>13

Leeさんの本のほうが分厚いですね。

>>14

伊藤清三さんの本は何か洗練されていない感じがします。それがいいところなのかもしれませんが。

Sheldon Axlerさんの本がベストだと思います。

志賀浩二さんの『複素数30講』ですが、もちろんいい加減な本なのですが、正則関数がいかに特殊な関数であるかについてしつこく書いてあって、30講シリーズの中ではためになる本だと思いました。
この本を流し読みした後に、普通の本で留数定理あたりまでの議論の穴埋めをするのがいいのではないかと思いました。

解析概論は基礎になる複素線積分の詳細を省いていますが、読みやすいですね。
∫_{C} a + b * z dz を例で具体的に計算していたり、 f がある領域で正則で、導関数が 0 ならば定数になるということを例で示していたりします。
一般論から分かることですが、その前に例で証明しているのがいいと思います。
f がある領域で正則で、 |f| が定数ならば、 f が定数であることも例で証明しています。

>>18
雪江のほうがいい
Artinの上位互換
この二つを比べてArtinが良いと言うのは、それは読んでいないということだ

確かに雪江さんの本は第1版の第1巻の、確認する必要のあった定理の証明だけを見たことがあるだけです。
ですが、説明が分かりやすいとは思いませんでした。

Artinさんの本は線形代数について沢山書いてあったり、雪江さんの本とは似ていないと思います。

多様体の基礎は、読んでる人が多いからか躓く人も多いのだが
で、躓いた箇所を見てみるとたしかに分かりづらい書き方になっている
まあ、しかしほかの本にはもっと分かりづらいところがあるのだろう

Artinさんの本は定理のステートメントの前の説明が非常に分かりやすいと思います。

tu は初学者にいい

lee は700ページもあるが、頑張れば通読可能と思われる

warnerは層係数コホモロジーを扱っていて、ホッジの分解定理を示している
しかし、そこまでやるならgriffiths-harrisやwells、和書なら小林複素幾何を読めばいい気がする

代数トポロジーは一冊で完結しない
代数トポロジストにとっての代数トポロジーの本はあるんだろうが、
FultonのAlgebraic Topologyのような代数幾何学者のための代数トポロジーみたいな本がなかなかない
整数論やるための測度論だとか、表現論やるための関数解析だとか、そういうのはわりとあるのだが

佐武一郎さんの『現代数学の源流』という本に『解析概論』を読めるのは日本人の特権だみたいなことが書いてありましたが、そこまでの本ですか？

欠点はやはり証明がスケッチ風で、究極的な細部まで書かれていないことだと思います。
志賀浩二さんの本をまともにした感じの本だと思います。

他の本で詳しく勉強した後で、小説を読むように読むのに良い本という感じではないでしょうか？

「概論」が名著で
「外伝」が真実

ω = dη
∫ ω = ∫ dη = ∮η

なんで2変数以上の変数変換公式は難しいの？

>>15

シンプルな多角形が三角形に分割できることの証明ですが、以下のような感じでどうでしょうか？

シンプルな多角形が凸な場合には、任意の頂点 i と隣接する頂点 i - 1, i + 1 の3点を頂点とする三角形は問題の多角形の部分集合です。
その三角形を取り除いた多角形もシンプルな凸多角形で頂点の数は 1 減っています。
あとは、頂点の数に関する帰納法で証明します。

凹んでいる場合ですが、凹んでいる三角形の頂点 i - 1, i, i + 1 を考えます。
頂点 i - 1 と i + 1 を結び、凹んでいる多角形の凹んでいる部分を「修復」します。
凹みがなくなるまでこの作業を繰り返します。
作業完了後、凸多角形ができあがります。
この凸多角形は三角形に分割できます。

ここからどうすればいいですかね？
「修復する」ために使用した三角形をすべて除去した後に残されたオリジナルの多角形に分割の線がひかれていますが、それは一般には三角形分割ではありません。

逆にやめたほうがいい本

Rudin, Principles of Mathematical Analysis

>>36

その本は多変数のところを読んでいませんが、厳密なんですか？
もし、1変数の部分同様のクオリティならば読んでみたいのですが、多変数の部分の評判は芳しくないようです。

小平解析入門を名著という人の意見はよくわかりません
あの本のオリジナルの部分（初等函数をべき級数や複素積分によらずに構成しているところや、和と極限の順序交換の一様収束よりも緩い十分条件を与えているところ）は、ほとんど実用性がありません
そして、未定乗数法やベクトル解析などの他の多くの本に載っている重要事項が省略されてしまっています

>>38

変わった本ではありますが、書かれている部分に関しては、ネチネチと極めて丁寧に書かれています。

>>38

三角関数の定義の部分ですが、著者の考えでは発見的に書いているつもりなのでしょうが、ちょっと納得できません。

>>34
難しいことはない

溝畑茂さんの本の良さが全く分かりません。

わからなくても死なない

>>38
ルベーグ積分をやれば済むことを無駄に詳細にやっている
副読書として「そういう話題もある」と楽しむ分にはいいが、メインの教科書にはならない

>>36
Rudinは多変数の積分をコンパクト台をもつ連続関数に限定していて計算例がほとんどないから、初学者がこれを読んで重積分の広義積分を習得するのはまず不可能

溝畑の下巻は、素直に多様体と複素解析に進んだほうがいい
ただし陰関数定理は逐次近似法で短く証明していてよい

高木も小平も溝畑も、読者のためではなく、自分のために書いている

計算例は留数の場合は５つほど必要だが
重積分の場合は４つくらい

>>46

＞高木も小平も溝畑も、読者のためではなく、自分のために書いている

これはそう思います。
巨匠気取りの人の本によくあることですが。

ID:Ys+Z3aDPさん
施されるだけではなく与えることを覚えましょう
独り言ではなくコミュニケーションを覚えましょう

小平さんは台所で本を書いていたそうですね。
おそらく隠居老人の趣味で書いているだけですよね。
盆栽を育てている感覚だったのではないでしょうか。

しょっちゅうエネルギー補給が必要だったからではないか

>>9
小林微分積分読本も、
変数変換公式を有開閉領域の場合にしか示していないのに

∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞ exp(x^2 + y^2) dx dy
= ∫_0^2π ∫_0^∞ exp(r^2) r dr dθ

と断りなく変形しています

>>52

小林さんはいい加減なので全く驚きません。

いろいろと目を通してなさるのね

>>52
一松信は、これちゃんと厳密に成り立つことを示してる
溝畑は、変数変換公式自体を、積分が絶対収束する場合にまで拡張している（ただ、ここまでやるならルベーグ積分でいい気はする）

参考書オタクの粗探し
本人はトリビアを披露して得意げ
はたから見たらみっともないだけ

宮島静雄は、見てないけど、「広義積分に対する変数変換」というそのまんまな節があるので、おそらく正確にやっているのでしょう

数学のスレは盛り上がらないのに、数学書のスレは大盛り上がり
どうせ買っただけで大して読んでないんだろ？（笑）

買ってもいないかもしれない

微分積分の現代化

微分積分いい気分

予備校の先生が書いた線形代数の本を読んでいるのだが、無駄な修飾語が多くて気になる。
目覚ましい応用、極めて明確に、もっとも著しい特徴、より濃密な考察などなど。
学生にとっては印象に残って勉強した気になるのかもしれないけど、我々にとっては論理の連鎖だけの方がいい。
脳内に無駄なノイズが入ってくる感覚だわ。

数学者の書いた線形代数の本読めよ

というか、予備校講師の書いた本を読む意味が分からない
数学に興味があるなら数学者の書いた本を読むべきだし、物理や工学に興味があるなら、物理学者や工学者の書いた本を読むべき
予備校講師が書いた線形代数に何を求めてるの？

逆にいうと頭が高校生なんだろ

>>63
読み始めたんで惰性で読んどった。
あと、長岡先生という人の本で、以前放送大学で講義してるところを見たことがあったんで。
人には薦めないな。

オフコースの小田和正さんと同級生だった人ですね。
あんな人でも数学が得意な人という位置づけだったそうですね。

線形代数は特に本を丁寧に読まなくても
２点を通る直線と
３点を通る平面について
素心深考してみれば大体の見当はついてくる

>>64
俺もどちらかというと議論がチャランポラン扱いされる幾何学系寄りな私文の学部卒止まりだけど
山本義隆マンセーするならアーノルドの解析力学の教科書を読むわ。

>>68
天狗ザルの定理でしたっけ？

>>69
学部卒止まりで幾何学寄りってどういうこと？
学部卒止まりならたとえ数学科卒業でも専門なんか無いだろう。

私文の学部卒って時点で意味不明

マセマはなぜ批判されるの？

>>70
ガウスの遺稿

文系の場合、計算中心の微積分と行列の授業があるならマシな方。
演習がついていることはほぼない。
ただでさえ苦手意識を持っている学生が多いのに、そんなんで身に付くわけがない。

近くの私立大では工学部より文系のほうが
数学の成績が良いそうだ

定員が埋まらない地方の工学部では、文系入試をやっているところもあるとか。
エンジニアとして卒業させていいんだろうか。
東大なんかは文系でもガンガン数学をやらせればいいと思う。
無理やりでも勉強させればマスターする脳ミソはあるだろ。
せっかく東大に入った以上、退学にはなりたくないだろうから、きっと必死で勉強するよ。

微分積分の教科書の書き方についてですが、まず複素微分を説明して、色々な複素関数の性質を説明した後で、実微分を紹介するというのはどうでしょうか？

実微分の特殊性を強調しながら、実微分積分学を展開する教科書というのも面白いかもしれませんよね。

p進解析と並行してやってほしい

Weierstrassの二重級数定理：

f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …)

は正則で、また F(z) = Σ_{n=0}^{∞} f_n(z) は |z - z_0| ≦ ρ （ρ は ρ < r なる任意の正数）なるとき、
一様に収束するとする。
然らば a_k^(0) + a_k^(1) + … + a_k^(n) + … = Σ_{n=0}^{∞} a_k^(n) = A_k は収束して、
|z - z_0| < r なるとき F(z) = Σ_{k=0}^{∞} A_k (z - z_0)^k.

上の定理において、「f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …) は正則」と仮定しているのはなぜでしょうか？
これはべき級数であるため、自動的に収束円内で正則になるのではないでしょうか？

消えろ

43. 絶対収束・条件収束

正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。

この証明が粗雑ですね。

『定本解析概論』のp.156に「広い意味で、加法の結合律が成り立つのである。」と書いてありますが、「交換律」ですよね。

Σ a_n について考える。
Σ a_n は正項級数ではないとする。
Σ a_n が負項級数の場合には、正項級数の理論に帰着するから、負項級数でもないとする。
Σ a_n の負項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は正項級数の有限個の項を負項に変えて得られる級数だから、正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は負項級数の有限個の項を正項に変えて得られる級数だから、負項級数の理論に帰着する。負項級数の理論は正項級数の理論に帰着するから、この場合も結局正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数も負項の個数も無数にあるとする。
Σ a_n の第 i 番目の正項を p_i とする。
Σ a_n の第 i 番目の負項を -q_i とする。
Σ a_n が絶対収束する場合には、 Σ p_i ≦ Σ |a_n|, Σ q_i ≦ Σ |a_n| だから Σ p_i, Σ q_i ともに収束する。
p := Σ_{i=1}^{∞} p_i, q := Σ_{i=1}^{∞} q_i とする。

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題を使うと、 Σ |a_n| = Σ p_i + Σ q_i が成り立つことが分かる。

ε を任意の正の実数とする。
n > N_p ならば、 |Σ_{i=1}^{n} p_i - p| < ε/2, n > N_q ならば、 |Σ_{i=1}^{n} q_i - q| < ε/2 が成り立つとする。
p_i = a_{φ(i)}, -q_i = a_{ψ(i)} とする。
N_1 := max {φ(1), φ(2), …, φ(N_p)}, N_2 := max {ψ(1), ψ(2), …, ψ(N_q)} とする。
n > max {N_1, N_2} ならば、 |Σ_{i=1}^{n} a_i - (p - q)| = |(Σ_{i=1}^{l} p_i - p) - (Σ_{i=1}^{m} q_i - q)|
≦ |Σ_{i=1}^{l} p_i - p| + |Σ_{i=1}^{m} q_i - q| < ε/2 + ε/2 = ε が成り立つ。
よって、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

逆に、 Σ p_i, Σ q_i がともに収束するとする。
p_1, q_1, p_2, q_2, … という数列を (b_i) とする。
Σ_{i=1}^{n} b_i ≦ Σ p_i + Σ q_i だから Σ b_i は収束する。
数列 (b_i) を並べ替えれば数列 (|a_i|) が得られるから、
Σ |a_i| も収束して、 Σ |a_i| = Σ b_i が成り立つ。
よって、 Σ a_i は絶対収束する。
前半の議論から、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

以上の結果をまとめると、

「Σ a_n が絶対収束する ⇔ Σ p_i, Σ q_i が収束する」が成り立つ。
上のどちらかが成り立てば、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

43の条件収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。

訂正します：

43の絶対収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。

高木貞治さんは、 Σ p_i, Σ q_i が収束するときに、 Σ a_i が絶対収束することを証明していません。

高木貞治さんは、

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

を証明するだけではなく、

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、各部分級数が収束の場合、 Σa_n も収束する。」

も証明すべきだったということですね。

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題ですが、有名なオイラー公式を証明するときに、 sin のパートと cos のパートに分けるときに必要になりますよね。

藤田宏先生の「大学での微分積分１、２」って、あまり話題にならないけど、どうなんだろう。
曲がりなりにも大物が書いた大著だが。

つづきとして関数解析もある。

リーマンの定理

　絶対収束しないが条件収束をする実数級数は、
項の順序をうまく変更することで、任意の実数値に収束するように、
（あるいは発散するようにも）変形できる。

こういうことを書いてある本をあまり見かけないようだった。

「45. 収束の判定法（条件収束）」のp.165に

「若干項の和は絶対値において (p + q) / (2 * n) よりも小である」と書いてありますが、これ間違っていますよね。

>>94
今どきそんな定理を細かくやるよりももっと優先してやるべきことがある

>>96

斎藤毅さんが同じことを書いていました。
ですが、そういうことを徹底していくと、本当につまらない本になってしまうと思います。

>>95

についてですが、「1/n よりも小である」というのがもっとも自然な評価だと思います。

斎藤毅さんには、何のために数学を勉強するのか？と訊いてみたいです。

「次の数学の分野を勉強するため」としか考えていないのではないでしょうか？

π が無理数であることの証明や e が超越数であることの証明などは書くべきだと思います。

『解析概論』は適度に遊びがあるところがいいと思います。

>>100

Michael Spivakさんの本はやさしい入門書ですが、ちゃんと書いてあります。

226事件が起きた頃に書かれていたような本を批判していてもしかたがない。
まるでその後に解析学が進歩していなかったかのような印象をあたえる。

解析概論の数学のスタイルはいまとなってはとても古いと思う。
たとえば関数のクラス、Cn級の関数というような話がはっきりと
書かれていただろうか？

本来広い範囲の内容をカバーする講座ものの中の１冊だけを、
単独で売り続けることは少し考えものだと思う。なぜなら講座
もののうちの１冊であったときには、同じ講座もののなかの
それ以外の書籍を読者は参照したり、別途買ったりして読み得る
状況だったのに、時代が移ってそれらその本以外の書籍が手に
入らないかあるいは読者にとってそれら前提知識が何に書かれて
いるかあるいはそういう書籍の存在が容易に想像がつかない形で
売られてしまうからだ。
　高木貞二の本として、解析概論、代数学講義、初等整数論講義、
代数的整数論の４つが主だった数学書だろうと思うが、ではこれら
の４冊を読めば、それら全部が理解できるか、たとえば代数的整数論
に書かれている内容が把握できるかといえば断じてＮＯだ。たとえば
ガロア理論については他書を読んで理解していることを暗黙に前提と
して書かれていると思うが、本文中ではガロア理論についてはＸＸＸ
などを読むと良いというようなヒントとか指示はしていなかったと思う。
代数学講義にはアーベルの理論はその姿を概ね再現する形で出てはいて
も、ガロアの理論の解説にまでは至っていなかったと思う。

高木貞治は数学者だが
高木貞二は確か心理学者

『定本解析概論』p.173

s(x) の微分の計算ですが、右側微分が存在することしか証明していません。

p.172の(C')で定義域が [a, b) となっています。
不自然だと思って、TeX化される前の解析概論を調べたところ、 [a, b] となっていました。

>>106

>s(x) の微分の計算ですが、右側微分が存在することしか証明していません。

別に左側微分が証明することも同時に簡単に示せるにもかかわらず、こういう気まぐれを起こします。

算術幾何平均はよく引用される

dx=Δｘの欺瞞を一生許さない

確かにそこでは引っかかった

しかしもう忘れた

>>44
小平解析入門は昔から評価が割れるけど、よく見かける「教科書に使うのは難しい…」っていう意見はそういう意味なんだね。
でも関数論が専門の先生（かなり若い人）が、解析の入門で1冊を選ぶなら小平解析入門ってツイッターで言ってたよ。
かなり有名な人。

小平先生は関数論とその次も書いているから、つなぎも考えて三部作トータルで完成品を作っておられるのかも。
しかし、残念ながら、人生は短く、三部作全部には付き合ってられない。w

逆に三部作を全てマスターしたら数学で食べて行けるかもw
複素多様体論を通読した人が周りにいない。

数学で食べていくとしても、三部作完全マスターがタイパ良か疑問である。w

早慶より日本一のおしゃれ校明治学院、大日本帝国好調三連勝の要明治。

データ解析は生物系だから。明治のほうが。

俺は分岐する応用分野より進路はまず数学科のほうがいいと思う。

私学か市立の。

早稲田の先進理工は数学板よりつまらない。

慶應と慶応の違い。日吉と三田。全く違う大学だ。

50歳まで数学科にいてそこから金持って天下りどうよ。

女は他人のために稼いだらあかんわ。

東大京大が底辺以下で私大がと。

矢上慶應より明治理工。慶応矢上のほうがそれはいいけど。

人を奴隷に見て人の中に他人を見るとだめ。

複素解析スレで解析概論を勧められて、改訂３版を購入しました。
その後は何を質問しても全部無視されてしまいまして、スレ違いというルールがあったんですね。
でも皆さん雑談も普通にしてるので、やっぱりバカにされたのかなと思います。

最初は、田島一郎先生の解析入門で勉強を始めるつもりでした。
解析概論は、すごく状態の良い本を安く買えました。

小平解析入門→　小平複素解析　→小平複素多様体論

高木数学雑談→高木数学小景→高木初等整数論講義

解析概論で勉強が行き詰まって小平先生の解析入門に救われたって話はわりと聞くよ

小平の解析入門は素晴らしい

ワープロも、TeXも無かった時代に、
数学書の原稿は如何にして作られ準備
されたのだろうか。
　手書きの原稿が残っているのだろうか？
それとも出版されたら手書きの原稿は
棄てた？　なんどか校正をするのだと
したら、下刷り・校正刷りなどのやり取り
があったのかもしれないが、完成版が
出来たら、それらは廃棄されてしまった
のだろうか。もしも残っていれば、それらは
出版された本の１冊よりもずっと価値が
ありそうだが。

Weierstrassの手書きの原稿は
いくつか残っている

RIMSの講究録も初期は手書きが多かった。
それをスキャナーでPDF化されたものが
O.A.になっているが、スキャンの中間調
が出ないと、かすれたり、いろいろあって、
最初の印刷物に比べるととても読みにくい
ものが、手書きのものには多いようだ。
いまさら手書き原稿をTeX化などしない
のだろう。LNCSなども、ドットプリンター
とか、あるいはIBMのゴルフボールプリンタ
ーで印刷されていた頃の論文はとても読み
にくい。LaTeXで整形し直して欲しいと思
うが、完全自動では無理だろうから、AIが
将来賢くなれば、わけのわかった人間との
協調作業で、綺麗な整形文章にできるの
だろうか？

解析概論はあくまでも概論なのであって、
あの一冊でもって解析学全体を把握できる
といったものでは全く無い。この本を
読んだ後にどのような本を読みどのような
後に続く内容を学ぶべきであるかについて
の参考となる記述が無いのが残念であろう。

著者の知性に触れることができる

正確に引き写したものを
そつなく編集してある

続解析概論
のようなものを誰か文体を模写して
格調高く片仮名書きで書かないもの
かなと思ふ。

>>127
馬鹿にされたのではなく回答者の性格が屈折しているだけの話だと思う
荒らしのアンチにはわざわざアンカを打って反論するような性格
素直な学生には相手が困惑するような回答をアンカ無しで書き捨てるような性格

解析概論は名著

(´・ω・`)

佐武一郎著『現代数学の源流』という本に、微分積分の参考書としてなぜか解析概論のみが勧められています。
単に自分が若い頃に勉強したなつかしい本だからという以外に理由があるのでしょうか？

佐武さんは、日本語で読めるのは日本人の特権だみたいなことまで書いています。

いつもの頭の悪いやつ
またキターッ

解析概論って英語版でてなかったかな？

佐武一郎「線型代数学」は英訳あり

松島の「多様体入門」も

高木貞治：代数学講義って英語訳でてなかったかな。
高木貞治：代数的整数論って英語訳でてなかったかな。

最近復刊した笠原先生の微分積分学か小平解析入門のどちらかでいいんじゃないの？
一松信 解析学序説初版とか溝畑数学解析とか名著揃いでホント日本人冥利に尽きる

解析学序説の函数論はよい

一松解析学序説と小平解析入門が解析学徒の入門書の双璧ですか？

幾何学徒にも代数学徒にもおすすめ

なるほど素晴らしい教科書なんですね
この集合写真の７年後には出版されてますから
この頃には構想もあって岡先生にもご相談されていたかもですね

昭和30年8月　J.P.Serreの訪問を受ける
中野茂男・秋月康夫・一松信氏らと共に奈良ホテルにて
https://imgur.com/rufGfFZ

小平邦彦さんの本は、自己満足的なこだわりが感じられます。
一松信さんの本は、色々なことが雑多に書かれています。
上巻の最初のほうは、高校数学の続きのような感じで書いてあり、途中でイプシロン-デルタ論法が登場します。ですので、構成が綺麗な本ではないです。
溝畑茂さんの本は何がいいのかさっぱり分かりません。
笠原晧司さんの本も、変な本です。積分のところで最初は被積分関数の連続性を仮定しています。そのまま行くのかと思えばそうではなく、途中で一般のリーマン積分について説明しています。そして、ルベーグ積分についても説明しています。微分方程式についても書いてあります。
杉浦光夫さんの本は、非常に丁寧でいろいろなことが書いてある一方で、泥臭く汚いです。

おすすめは、Michael Spivak著『Calculus Fourth Edition』をまず読み、その後、James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読むことです。

ありがとう
参考になります

スピヴァックは和訳でもよい

>小平邦彦さんの本は、自己満足的なこだわりが感じられます。
>一松信さんの本は、色々なことが雑多に書かれています。
ある意味両極端だから
両方持っていれば有益ではなかろうか

留数定理の周辺がどう書かれているか

解析概論にはルーシェの定理の
逆関数の展開の収束半径への応用が
書かれている

>>151
留数定理から解析接続の導入まで書かれていますね
多変数も良さそうだしベクトル解析やフーリエ解析まで入って雑多に感じる人もいらっしゃるのかな
函数論は特によくまとまっていて自習用のテキストとして初版は◎でしょうか
小平解析入門は微分方程式を他巻に譲ってしまいましたね

一松の序説は初版を復刊して欲しいな

スピヴァックは一変数の本はとても面白い良い本だが
多変数のは他の本読まないと計算できるようにならない

スピヴァック多変数みたいな本があること自体は良いと思うし
持ってて良いが尖った本の一つだと思ってる

>>16
おまえが笠原読んでないことはわかった

>>161
高木はラグランジュの逆関数定理も書いてるから
そういう説明しやすい

附記として

>>73
レイアウトが悪い
本を開いた瞬間拒否反応が出る

名前が悪い
本を開く気になれない

ケプラー方程式の解の収束半径の評価は
ヤコビも書いていた

イタリアの天文学者の論文の独訳

>>152
才能ある学生は小平解析入門の方が先々の開花に寄与しそう

解析概論は「挿記」の「附記」が面白い

和書で十分だよねー

和書の中を探してもベストな本が見当たりません。

古書も探そう

和書の中しかベストな本が見当たりません

シュプリンガーの「リーマン面入門」は
ベストかもしれない

洋書部門第１位

和訳が出てもよい

>>178
どちらの本でしょうか？

An Introduction to Riemann Surfaces
https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-8176-4693-6

Introduction to Riemann Surfaces
https://www.amazon.co.jp/dp/0821831569

シュプリンガーは人名だと思います。

ベルグマンの助手だった

また引用した

不滅の力作と言える

ルジャンドルの陪函数についての一言があってもよかった

回転群の表現

>>182
ありがとうございます。
George Springer「Introduction to Riemann Surfaces」で間違いないでしょうか？
※指導教官はAhlfors

Bergmanの秘書と結婚した

秘書と助手なら接点も多かったでしょうね
今までこの掲示板で誰もGeorge Springerのリーマン面入門に言及しなかった点が不思議です
不滅の力作なんて最高の賛辞もここでは初めて聞きました

数論の人はこれを勧めない

勧めない理由があるのでしょうか？

ある人はワイルのリーマン面が最高だと言っていた

Hitchin理論につながるのがこれ

Higgs pair

パラダイムシフト

ハードカバーの方がよかった

レコードがリバイバルしたようなことが
ハードカバーにも起こるか

起こる

文庫化を

ハードカバーの文庫もありかと

リュックのポケットに一冊

カタカナ書きの方が格調があった。

すちるりんぐノ公式とかね

ぢりくれとか

カタカナ書きの「近世数学史談」は見たことがない

キャンパスの近くの古本屋には
「定本」以外の３冊がそろっていた

森田康夫の「代数概論」が3冊あった

数学のノーベル賞「アーベル賞」賞金に非課税措置…文科省、数学分野の研究振興

>>209
マルチ、スレチうるせーんだよ
オメーに関係あるか

ないわけではない

>>210
荒しマルチを下げるための

>>211
お前に関係あるわけないだろ
首吊って死んどけ

これも荒しマルチを下げるため

>>207
流石は学生街

要所だけ抜き出して文庫化してほしい

『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版

で検索してみたらええ。
中学のときにカナ書きの版を古書店で買って
読んだのが最初だった。

一流の数学者の風格に接することができたことは幸せ

発表された当時は講座ものの一つであったし、
頁数に制限もあった。
　代数学も解析学も、藤原松三郎の
書籍の方が網羅的で学びやすいはず。
しかし長らくカタカナ書きであったことや、
出版社の規模や流通面から、共立出版や
岩波書店に負けてた感があり。あとは
なんといっても日本の中では最も有名な
数学者が高木貞二だったからか。

貞治

さだはる

高木貞治

概論

文化勲章のリストに貞治さんが2人

定本のp.15の注意に、

「
これに反し、 {a_n} に同じ数が無数に含まれることがなければ、 {a_n} が a に収束することは、 S が有界で a が S の唯一の集積点であることと同等である。
」

と書いてあります。

これは、有界な無限点集合には集積点が存在するという定理の直前に書いてありますが、この定理を使えば容易に証明できます。
使わずに証明できますか？

あ、上極限と下極限が一致するので収束しますね。

デデキントってどこの部分ですか

定本のp.26の指数函数について

についてです。

a > 0 とし、 {x_n} を x に収束する単調増加有理数列とすると、 {a^{x_n}} という数列は単調増加数列は有界だから収束する。
この極限値は単調増加有理数列の選択に無関係であると書いています。p.23を参照せよと書いてあるので、理由はそこに書いてあるはずだと思い、見てみました。

そこに書かれているのは、 x に収束する任意の点列 {x_n} （x_n ≠ x）に対し、 {f(x_n)} が収束するとき、 {x_n} を x に収束する点列、 {x'_n} を x に収束する点列とすると、
f(x_n) → l、 f(x'_n) → l' ならば、 l = l' であるということです。

ですが、このことを指数函数の場合に使うことはできないですよね?

高木貞治さんは大丈夫な人だったのでしょうか？

>このことを指数函数の場合に使うことはできないですよね?

なぜ？

>>228

x は無理数とする。
任意の自然数 m に対して、 x_m < x'_{n_m} < x を満たす自然数 n_m が存在する。
任意の自然数 n に対して、 x'_n < x_m < x を満たす自然数 m_n が存在する。

a^{x_m} → l
a^{x'_n} → l'

とする。

ε を任意の正の実数とする。
l' - ε < a^{x'_n} < l' を満たす自然数 n が存在する。
x'_n < x_{m_n} である。
x_{m_n} < x'_{n_{m_n}} である。
l' - ε < a^{x'_n} < a^{x_{m_n}} < a^{x'_{n_{m_n}} < l' である。

よって、 a^{x_m} → l' である。

>>229

指数函数の場合には、点列は単調増加という条件があるからです。

ハイネ・ボレルの被覆定理についても、一般の開被覆ではなく開円被覆の場合について証明を書いています。脚注に一般の開被覆でも成り立つと書くくらいなら最初から一般の場合で証明すべきです。

解析概論での指数函数の定義、連続性の証明ですが、ここしかないという場所に配置していますね。
数列を使った定義は分かりやすいと思いました。

>指数函数の場合には、点列は単調増加という条件があるからです。
指数関数の場合には
単調増加数列の像の極限しか意味がない？

>>234

{x_n} が単調増加でない場合には、 a^{x_n} が収束することを簡単には証明できません。


>そこに書かれているのは、 x に収束する任意の点列 {x_n} （x_n ≠ x）に対し、 {f(x_n)} が収束するとき、 {x_n} を x に収束する点列、 {x'_n} を x に収束する点列とすると、
f(x_n) → l、 f(x'_n) → l' ならば、 l = l' であるということです。

{f(x_n)} が収束することを示す必要があります。

>{x_n} が単調増加でない場合には、
>a^{x_n} が収束することを簡単には証明できません。

{x_n} が単調増加でない場合には、
他に何も条件がなければ
a^{x_n} は収束しない。

高校数学の教科書に以下の記述があります：

「
指数は有理数まで拡張されたが、無理数の指数はどうだろうか。
たとえば、 a^{√2} を考えてみよう。
√2 は無限小数 1.41421… で表される。そこで、

a^1, a^{1.4}, a^{1.41}, a^{1.414}, a^{1.4142}, …

を考えると、これらの指数が有理数だから、それぞれの値が定まる。
そして、それらの値はある一定の値にかぎりなく近づいていく。その値を a^{√2} と定めるのである。

このようにして、指数 p が無理数のときにも a^p が定められる。
したがって、指数はすべての実数に拡張されたことになる。そして、 p, q が実数のときも、前ページの指数法則が成り立つ。
」

この部分を厳密化したのが定本のp.26の指数函数についてですね。

解析概論の方が高校の教科書より後で書かれた？

定本のp.30の図ですが、おかしいですね。

点 Q を中心とする円ですが、開円板として描かれています。
閉円板として描くのが正しいですよね。

定本になる前の本でも同様の誤りがあります。

定本p.29の定理14（有界閉集合において連続関数は一様連続であるという定理）の証明の最後の部分が分かりません。

「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0) ≦ ε。
」

なぜ、 v(P, ρ_0) ≦ ε であることが言えるのでしょうか？
その前の行で、 ρ_0/2 や ρ/2 を考えたことは v(P, ρ_0) ≦ ε を結論づけるためにどのように効いているのでしょうか？

「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0/2 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0/2) < ε。
」

↑こうであったなら何も疑問はありません。

>>241

が正しいように思いますがどうでしょうか？
せっかく正しく ρ_0/2 や ρ/2 を考えたにもかかわらず、最後の不等式ではそれを使えていません。
定本の前の本でも同じように書いてありますが、これは代々訂正されないままであった誤りではないでしょうか？

なんか前もちょうど同じところで同じ疑問を持って、書き込みをしたのを思い出しました。

解決できない疑問は
誰にでもある

第2版は著作権が切れているということでネットで公開されていますが、それを見ると、 v(P, ρ) < ε という間違ったことを書いていますね。
それを正そうとしてまたおかしなことになっているという状況だと思います。

解析概論の初版からの変遷を追うのは面白そうですね。
初版はひどい誤りが多かったんでしょうね。

るべーぐノ積分、はまだできたての頃だった
から、うまく整理されていない気がした。

それは昔から言われていること

その章はなくてもよい

第1章の練習問題ですが、いきなり1問目から面白いですね。

第1章練習問題(2)ですが、 a > 0, b > 0 とするとなっていますが、おかしいですね。
b > 0, a > -b とするべきです。

>>246
第3版のハードカバー製本のやつが自分はベストだと思います。

>b > 0, a > -b とするべきです。
おかしい

９℃
くもり

>>253

おかしいのは高木貞治さんのほうです。

>>255
なぜ？

最初の分冊で出た頃から、内容などが
どのように変遷したかを詳細に調査研究
すれば数学教育関係の論文を書けるかも
しれないな。

笠原さんの『新装改版微分積分学』の定理1.36の証明って間違っていますよね？

定本解析概論のp.35練習問題(1)の(6)を解いた後に同じようなことが笠原さんの本に出ていたのを思い出して確認してみました。

誤りがあるのは、有界集合 A で一様連続な関数 f を closure(A) で連続な関数に一意的に拡張できるという定理の証明です。
まず指摘したいのが A は有界でなくてもいいということです。ここがまずおかしいですね。

次に、 A の元でない点 a ∈ closure(A) をとり、 a での f の値を定義しています。これは問題ありません。
次に、 f が a で連続であると書いていますが、笠原さんが示したことは、 A ∪ {a} 上の関数 f が a で連続であるということだけです。
示したいことは、 f が closure(A) で連続であることです。

高木貞治著『定本解析概論』のp.35練習問題(1)の(6)解答を以下に示します：

f : [a, b] ∩ Q → R を一様連続な関数とする。
f は [a, b] において連続な関数 g に拡張できる。

証明：
x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
Q の稠密性により、 x は [a, b] ∩ Q の集積点であるから、 [a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
ε を任意の正の実数とする。f は一様連続であるから、正の実数 δ で、
x, y ∈ [a, b] ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε/3 が成り立つようなものが存在する。
{x_n} はコーシー列であるから、 m, n ≧ N ⇒ |x_m - x_n| < δ を満たすような N が存在する。
m, n ≧ N ⇒ |f(x_m) - f(x_n)| < ε/3 < ε である。
よって、 {f(x_n)} はコーシー列である。
よって、 {f(x_n)} はある実数 l に収束する。
この l が点列 {x_n} の選び方に依存しないことは容易にわかる。
g(x) := l と定義する。
また、x ∈ [a, b] ∩ Q であるときには、g(x) := f(x) と定義する。
これで、 g : [a, b] → R が定義できた。

g が連続であることを以下で示す。

(1) x ∈ [a, b] ∩ Q とする。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
x, y ∈ [a, b] ∩ Q であるから、 |g(y) - g(x)| < ε/3 < ε である。

y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。


(2) x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_n) - g(x)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y) - g(x_n)| + |g(x_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。

y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_m ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_m) - g(x)| < ε/3 を満たす m が存在する。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x_m)| + |g(x_m) - g(x)| < ε である。

(1), (2)から g は連続である。

アーベルはベルリンでコーシーの「解析学教程」を読んだ

高木貞治著『定本解析概論』のp.36練習問題(9)

x^y (x, y は正の有理数)は有界な区域で一様連続であると書いてあります。
これはどうやって示しますか？

指数法則と二項定理および単調性

>>263
もっと詳しく書いてください。

大塚駅前の本屋での
ドキュメント７２で
インタビューされた人が
棺桶に入れてほしい本として
これをあげていた

英語翻訳版はあるのかね？

ない

高木貞治の原著本はどれも著作権が基本的に
切れている。いくつかの本（整数論の本
だったと思う）は英語版が出ているらしい。
なぜ解析概論が英訳されていないのかは
わからない。同様の本が英語圏には多くて
需要が無いと考えられるのかもしれないね。

この本がフランスの数学者が書いた本のパクリというのは本当ですか？

典型的なフェイク

>>265
いつ放送のドキュメント７２ですか？

先週の金曜日

ありがとうございます

解析概論と線形数学と
研究社の大英和

１０℃
小雨

１０℃
小雨

ハードカバーのが良い

1冊の本のみを集中的に読んだほうがいいか？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1767373819/

８℃
晴れ

3℃
くもり

９℃
くもりのち晴れ

Tさんが小学生の時読んだという話を聞いた

T澤

U澤さんも

O川先生は
大学を卒業する前に
やっと読めたとおっしゃった

関数論の授業でこれを使っていた人は結構いるかもしれない

熊本の人が使っていたと言っていた

物理学者の村山斉は小学3年生の時に解析概論を読んだという伝説がある

Fはランドセルに解析概論を入れていた

Fは今でもランドセルの似合う男

解析概論に匹敵する幾何学の名著を目指したのが
弥永先生の『幾何学序説』(1968)だったと思うが
残っていないようだ。
梶原先生の『複素関数論』(1968)は2007年に復刊されている。

『複素関数論』の内容は
作用素環論の誰かが
中学時代には読めていたようだ

K東

高木貞治『解析概論』は今でも名著なのか
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1769938460/

永遠の名著

当時としては相当の使命感をもって書かれたものだと思う

ニュース速報
小笠原村に核ゴミ…

文章の格調が高い

１ｍｍの雨
木曜日

１６℃
晴れ

６℃
くもり時々晴れ

イプシロンデルタ論法を明示的には振り回していない。

ラグランジュ級数を明示的に書いている

高木の解析概論と
吉田の函数論は
双璧をなす

$F(u, v)$ を有理関数とする。 $F(\cos x, \sin x)$ が $\pi$ を周期とするときには、 $t = \tan x$ としてすでに有理化ができる。その場合には、$F(u, v) = F(-u, -v)$ で、それは $u^2, v^2$ および $uv$ の有理関数になり、従って、$F(\cos x, \sin x)$ は $\cos 2x$と$\sin 2x$との有理関数として表されるからである。

と高木貞治著『解析概論』に書いてありました。これについて証明をしてください。

Geminiに聞いたところ、はじめはごまかされましたが、問い詰めたところ、

F(u, v) = (u + v) * (u^2 + v^2 - 1)

という反例を答えてきました。

そして、

G(u, v) := (F(u, v) + F(-u, -v)) / 2 という有理関数を考えれば、

G(u, v) = G(-u, -v) かつ G(cos x, sin x) = F(cos x, sin x) が成り立つから、

F(cos x, sin x) の代わりに G(cos x, sin x) を考えればよいという素晴らしい解答を出してきました。

高木貞治の議論は間違っていましたね？

よくわからない

1938年

解析概論と函数論

吉田の函数論そんなにいいですかね？

良さが分かると良いのだが

失礼いたしました

B賞をもらったとき
ある先生に
Bて偉いんですかねときかれた

Fieldsて偉いんですかね

B核

本来はBB(Bergman-Bochner)核

Kähler計量も
本来はVanDanzig-Schouten計量

今日発売の数セミにStiglerの法則というのが載っている
いかなる科学的発見もその最初の発見者の名が冠されることはない、
のだそうだ
ガウス分布とかいろいろ

スティグラー自身は、この法則の発見者は社会学者のロバート・マートンであるとして、「スティグラーの法則」という呼称自体がスティグラーの法則を満たしていると主張している。

>>312
ヘイチ先生、研究科長辞めて5chすか

アングラなとこも案外良いかもしれないよ。
知らんけど。

「関数論外伝」に詳しい記述がある

特異点還元の話がないので外伝

５章の解析函数だけ別冊再販してはどうだろう？

ちくま学芸文庫で

微分方程式序説 (新しい解析学の流れ) 単行本 – 2003/12/24
岡村 博 (著)

ちくま学芸文庫にしてほしい

U書店には
山本義隆のだけ置いてあった

公安の調査対象

最近は解析概論は遠回りで
数学ガールの方が
研究には近道だと思われている節がある
「ガロアの夢」が数学科のセミナーで
講読される時代だから

「あんなこといいな、できたらいいな」
というドラえもんの世界では
食べていくのが大変

数学はこう語るものという一つの見本

気品が大切

第5章は今日もどこかで誰かの目を開く

>>331
気骨や高潔さが感じられない。

気骨と言えば
万世のために太平を開くの
決断

大袈裟な評価は嘘っぽくて好きじゃないな
肯定にしても否定にしても
権威主義者とまでは言わないけど、なんだか地に足がついてない感じ
何か言ってるようで実は何も言ってない感じが好きじゃない

日本の思想は繊細さを好む

大きいことを考えてばかりいると何かと動きにくいんじゃないか？

大志をいだけってね。

余接
よせっつってんのにマイクロローカル

ランドセルに入れていたのは
吉田洋一の函数論だったらしい
サイズ的には納得できる

ＡＩ全盛の時代になったら
本を読むのはアナクロといわれるか？