高木貞治 『解析概論』

高木貞治 『解析概論』

>>207
流石は学生街

要所だけ抜き出して文庫化してほしい

『増訂解析概論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版

で検索してみたらええ。
中学のときにカナ書きの版を古書店で買って
読んだのが最初だった。

一流の数学者の風格に接することができたことは幸せ

発表された当時は講座ものの一つであったし、
頁数に制限もあった。
　代数学も解析学も、藤原松三郎の
書籍の方が網羅的で学びやすいはず。
しかし長らくカタカナ書きであったことや、
出版社の規模や流通面から、共立出版や
岩波書店に負けてた感があり。あとは
なんといっても日本の中では最も有名な
数学者が高木貞二だったからか。

貞治

さだはる

高木貞治

概論

文化勲章のリストに貞治さんが2人

定本のp.15の注意に、

「
これに反し、 {a_n} に同じ数が無数に含まれることがなければ、 {a_n} が a に収束することは、 S が有界で a が S の唯一の集積点であることと同等である。
」

と書いてあります。

これは、有界な無限点集合には集積点が存在するという定理の直前に書いてありますが、この定理を使えば容易に証明できます。
使わずに証明できますか？

あ、上極限と下極限が一致するので収束しますね。

デデキントってどこの部分ですか

定本のp.26の指数函数について

についてです。

a > 0 とし、 {x_n} を x に収束する単調増加有理数列とすると、 {a^{x_n}} という数列は単調増加数列は有界だから収束する。
この極限値は単調増加有理数列の選択に無関係であると書いています。p.23を参照せよと書いてあるので、理由はそこに書いてあるはずだと思い、見てみました。

そこに書かれているのは、 x に収束する任意の点列 {x_n} （x_n ≠ x）に対し、 {f(x_n)} が収束するとき、 {x_n} を x に収束する点列、 {x'_n} を x に収束する点列とすると、
f(x_n) → l、 f(x'_n) → l' ならば、 l = l' であるということです。

ですが、このことを指数函数の場合に使うことはできないですよね?

高木貞治さんは大丈夫な人だったのでしょうか？

>このことを指数函数の場合に使うことはできないですよね?

なぜ？

>>228

x は無理数とする。
任意の自然数 m に対して、 x_m < x'_{n_m} < x を満たす自然数 n_m が存在する。
任意の自然数 n に対して、 x'_n < x_m < x を満たす自然数 m_n が存在する。

a^{x_m} → l
a^{x'_n} → l'

とする。

ε を任意の正の実数とする。
l' - ε < a^{x'_n} < l' を満たす自然数 n が存在する。
x'_n < x_{m_n} である。
x_{m_n} < x'_{n_{m_n}} である。
l' - ε < a^{x'_n} < a^{x_{m_n}} < a^{x'_{n_{m_n}} < l' である。

よって、 a^{x_m} → l' である。

>>229

指数函数の場合には、点列は単調増加という条件があるからです。

ハイネ・ボレルの被覆定理についても、一般の開被覆ではなく開円被覆の場合について証明を書いています。脚注に一般の開被覆でも成り立つと書くくらいなら最初から一般の場合で証明すべきです。

解析概論での指数函数の定義、連続性の証明ですが、ここしかないという場所に配置していますね。
数列を使った定義は分かりやすいと思いました。

>指数函数の場合には、点列は単調増加という条件があるからです。
指数関数の場合には
単調増加数列の像の極限しか意味がない？

>>234

{x_n} が単調増加でない場合には、 a^{x_n} が収束することを簡単には証明できません。


>そこに書かれているのは、 x に収束する任意の点列 {x_n} （x_n ≠ x）に対し、 {f(x_n)} が収束するとき、 {x_n} を x に収束する点列、 {x'_n} を x に収束する点列とすると、
f(x_n) → l、 f(x'_n) → l' ならば、 l = l' であるということです。

{f(x_n)} が収束することを示す必要があります。

>{x_n} が単調増加でない場合には、
>a^{x_n} が収束することを簡単には証明できません。

{x_n} が単調増加でない場合には、
他に何も条件がなければ
a^{x_n} は収束しない。

高校数学の教科書に以下の記述があります：

「
指数は有理数まで拡張されたが、無理数の指数はどうだろうか。
たとえば、 a^{√2} を考えてみよう。
√2 は無限小数 1.41421… で表される。そこで、

a^1, a^{1.4}, a^{1.41}, a^{1.414}, a^{1.4142}, …

を考えると、これらの指数が有理数だから、それぞれの値が定まる。
そして、それらの値はある一定の値にかぎりなく近づいていく。その値を a^{√2} と定めるのである。

このようにして、指数 p が無理数のときにも a^p が定められる。
したがって、指数はすべての実数に拡張されたことになる。そして、 p, q が実数のときも、前ページの指数法則が成り立つ。
」

この部分を厳密化したのが定本のp.26の指数函数についてですね。

解析概論の方が高校の教科書より後で書かれた？

定本のp.30の図ですが、おかしいですね。

点 Q を中心とする円ですが、開円板として描かれています。
閉円板として描くのが正しいですよね。

定本になる前の本でも同様の誤りがあります。

定本p.29の定理14（有界閉集合において連続関数は一様連続であるという定理）の証明の最後の部分が分かりません。

「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0) ≦ ε。
」

なぜ、 v(P, ρ_0) ≦ ε であることが言えるのでしょうか？
その前の行で、 ρ_0/2 や ρ/2 を考えたことは v(P, ρ_0) ≦ ε を結論づけるためにどのように効いているのでしょうか？

「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0/2 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0/2) < ε。
」

↑こうであったなら何も疑問はありません。

>>241

が正しいように思いますがどうでしょうか？
せっかく正しく ρ_0/2 や ρ/2 を考えたにもかかわらず、最後の不等式ではそれを使えていません。
定本の前の本でも同じように書いてありますが、これは代々訂正されないままであった誤りではないでしょうか？

なんか前もちょうど同じところで同じ疑問を持って、書き込みをしたのを思い出しました。

解決できない疑問は
誰にでもある

第2版は著作権が切れているということでネットで公開されていますが、それを見ると、 v(P, ρ) < ε という間違ったことを書いていますね。
それを正そうとしてまたおかしなことになっているという状況だと思います。

解析概論の初版からの変遷を追うのは面白そうですね。
初版はひどい誤りが多かったんでしょうね。

るべーぐノ積分、はまだできたての頃だった
から、うまく整理されていない気がした。

それは昔から言われていること

その章はなくてもよい

第1章の練習問題ですが、いきなり1問目から面白いですね。

第1章練習問題(2)ですが、 a > 0, b > 0 とするとなっていますが、おかしいですね。
b > 0, a > -b とするべきです。

>>246
第3版のハードカバー製本のやつが自分はベストだと思います。

>b > 0, a > -b とするべきです。
おかしい

９℃
くもり

>>253

おかしいのは高木貞治さんのほうです。

>>255
なぜ？

最初の分冊で出た頃から、内容などが
どのように変遷したかを詳細に調査研究
すれば数学教育関係の論文を書けるかも
しれないな。

笠原さんの『新装改版微分積分学』の定理1.36の証明って間違っていますよね？

定本解析概論のp.35練習問題(1)の(6)を解いた後に同じようなことが笠原さんの本に出ていたのを思い出して確認してみました。

誤りがあるのは、有界集合 A で一様連続な関数 f を closure(A) で連続な関数に一意的に拡張できるという定理の証明です。
まず指摘したいのが A は有界でなくてもいいということです。ここがまずおかしいですね。

次に、 A の元でない点 a ∈ closure(A) をとり、 a での f の値を定義しています。これは問題ありません。
次に、 f が a で連続であると書いていますが、笠原さんが示したことは、 A ∪ {a} 上の関数 f が a で連続であるということだけです。
示したいことは、 f が closure(A) で連続であることです。

高木貞治著『定本解析概論』のp.35練習問題(1)の(6)解答を以下に示します：

f : [a, b] ∩ Q → R を一様連続な関数とする。
f は [a, b] において連続な関数 g に拡張できる。

証明：
x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
Q の稠密性により、 x は [a, b] ∩ Q の集積点であるから、 [a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
ε を任意の正の実数とする。f は一様連続であるから、正の実数 δ で、
x, y ∈ [a, b] ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε/3 が成り立つようなものが存在する。
{x_n} はコーシー列であるから、 m, n ≧ N ⇒ |x_m - x_n| < δ を満たすような N が存在する。
m, n ≧ N ⇒ |f(x_m) - f(x_n)| < ε/3 < ε である。
よって、 {f(x_n)} はコーシー列である。
よって、 {f(x_n)} はある実数 l に収束する。
この l が点列 {x_n} の選び方に依存しないことは容易にわかる。
g(x) := l と定義する。
また、x ∈ [a, b] ∩ Q であるときには、g(x) := f(x) と定義する。
これで、 g : [a, b] → R が定義できた。

g が連続であることを以下で示す。

(1) x ∈ [a, b] ∩ Q とする。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
x, y ∈ [a, b] ∩ Q であるから、 |g(y) - g(x)| < ε/3 < ε である。

y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。


(2) x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_n) - g(x)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y) - g(x_n)| + |g(x_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。

y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_m ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_m) - g(x)| < ε/3 を満たす m が存在する。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x_m)| + |g(x_m) - g(x)| < ε である。

(1), (2)から g は連続である。

アーベルはベルリンでコーシーの「解析学教程」を読んだ

高木貞治著『定本解析概論』のp.36練習問題(9)

x^y (x, y は正の有理数)は有界な区域で一様連続であると書いてあります。
これはどうやって示しますか？

指数法則と二項定理および単調性

>>263
もっと詳しく書いてください。

大塚駅前の本屋での
ドキュメント７２で
インタビューされた人が
棺桶に入れてほしい本として
これをあげていた

英語翻訳版はあるのかね？

ない

高木貞治の原著本はどれも著作権が基本的に
切れている。いくつかの本（整数論の本
だったと思う）は英語版が出ているらしい。
なぜ解析概論が英訳されていないのかは
わからない。同様の本が英語圏には多くて
需要が無いと考えられるのかもしれないね。

この本がフランスの数学者が書いた本のパクリというのは本当ですか？

典型的なフェイク

>>265
いつ放送のドキュメント７２ですか？

先週の金曜日

ありがとうございます

解析概論と線形数学と
研究社の大英和

１０℃
小雨

１０℃
小雨

ハードカバーのが良い

1冊の本のみを集中的に読んだほうがいいか？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1767373819/

８℃
晴れ

3℃
くもり

９℃
くもりのち晴れ

Tさんが小学生の時読んだという話を聞いた

T澤

U澤さんも

O川先生は
大学を卒業する前に
やっと読めたとおっしゃった

関数論の授業でこれを使っていた人は結構いるかもしれない

熊本の人が使っていたと言っていた

物理学者の村山斉は小学3年生の時に解析概論を読んだという伝説がある

Fはランドセルに解析概論を入れていた

Fは今でもランドセルの似合う男

解析概論に匹敵する幾何学の名著を目指したのが
弥永先生の『幾何学序説』(1968)だったと思うが
残っていないようだ。
梶原先生の『複素関数論』(1968)は2007年に復刊されている。

『複素関数論』の内容は
作用素環論の誰かが
中学時代には読めていたようだ

K東

高木貞治『解析概論』は今でも名著なのか
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1769938460/

永遠の名著

当時としては相当の使命感をもって書かれたものだと思う

ニュース速報
小笠原村に核ゴミ…

文章の格調が高い

１ｍｍの雨
木曜日

１６℃
晴れ

６℃
くもり時々晴れ

イプシロンデルタ論法を明示的には振り回していない。

ラグランジュ級数を明示的に書いている

高木の解析概論と
吉田の函数論は
双璧をなす

$F(u, v)$ を有理関数とする。 $F(\cos x, \sin x)$ が $\pi$ を周期とするときには、 $t = \tan x$ としてすでに有理化ができる。その場合には、$F(u, v) = F(-u, -v)$ で、それは $u^2, v^2$ および $uv$ の有理関数になり、従って、$F(\cos x, \sin x)$ は $\cos 2x$と$\sin 2x$との有理関数として表されるからである。

と高木貞治著『解析概論』に書いてありました。これについて証明をしてください。

Geminiに聞いたところ、はじめはごまかされましたが、問い詰めたところ、

F(u, v) = (u + v) * (u^2 + v^2 - 1)

という反例を答えてきました。

そして、

G(u, v) := (F(u, v) + F(-u, -v)) / 2 という有理関数を考えれば、

G(u, v) = G(-u, -v) かつ G(cos x, sin x) = F(cos x, sin x) が成り立つから、

F(cos x, sin x) の代わりに G(cos x, sin x) を考えればよいという素晴らしい解答を出してきました。

高木貞治の議論は間違っていましたね？

よくわからない

1938年

解析概論と函数論

吉田の函数論そんなにいいですかね？

良さが分かると良いのだが

失礼いたしました

B賞をもらったとき
ある先生に
Bて偉いんですかねときかれた

Fieldsて偉いんですかね

B核