高木貞治 『解析概論』

高木貞治 『解析概論』

解析概論の初版からの変遷を追うのは面白そうですね。
初版はひどい誤りが多かったんでしょうね。

るべーぐノ積分、はまだできたての頃だった
から、うまく整理されていない気がした。

それは昔から言われていること

その章はなくてもよい

第1章の練習問題ですが、いきなり1問目から面白いですね。

第1章練習問題(2)ですが、 a > 0, b > 0 とするとなっていますが、おかしいですね。
b > 0, a > -b とするべきです。

>>246
第3版のハードカバー製本のやつが自分はベストだと思います。

>b > 0, a > -b とするべきです。
おかしい

９℃
くもり

>>253

おかしいのは高木貞治さんのほうです。

>>255
なぜ？

最初の分冊で出た頃から、内容などが
どのように変遷したかを詳細に調査研究
すれば数学教育関係の論文を書けるかも
しれないな。

笠原さんの『新装改版微分積分学』の定理1.36の証明って間違っていますよね？

定本解析概論のp.35練習問題(1)の(6)を解いた後に同じようなことが笠原さんの本に出ていたのを思い出して確認してみました。

誤りがあるのは、有界集合 A で一様連続な関数 f を closure(A) で連続な関数に一意的に拡張できるという定理の証明です。
まず指摘したいのが A は有界でなくてもいいということです。ここがまずおかしいですね。

次に、 A の元でない点 a ∈ closure(A) をとり、 a での f の値を定義しています。これは問題ありません。
次に、 f が a で連続であると書いていますが、笠原さんが示したことは、 A ∪ {a} 上の関数 f が a で連続であるということだけです。
示したいことは、 f が closure(A) で連続であることです。

高木貞治著『定本解析概論』のp.35練習問題(1)の(6)解答を以下に示します：

f : [a, b] ∩ Q → R を一様連続な関数とする。
f は [a, b] において連続な関数 g に拡張できる。

証明：
x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
Q の稠密性により、 x は [a, b] ∩ Q の集積点であるから、 [a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
ε を任意の正の実数とする。f は一様連続であるから、正の実数 δ で、
x, y ∈ [a, b] ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε/3 が成り立つようなものが存在する。
{x_n} はコーシー列であるから、 m, n ≧ N ⇒ |x_m - x_n| < δ を満たすような N が存在する。
m, n ≧ N ⇒ |f(x_m) - f(x_n)| < ε/3 < ε である。
よって、 {f(x_n)} はコーシー列である。
よって、 {f(x_n)} はある実数 l に収束する。
この l が点列 {x_n} の選び方に依存しないことは容易にわかる。
g(x) := l と定義する。
また、x ∈ [a, b] ∩ Q であるときには、g(x) := f(x) と定義する。
これで、 g : [a, b] → R が定義できた。

g が連続であることを以下で示す。

(1) x ∈ [a, b] ∩ Q とする。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
x, y ∈ [a, b] ∩ Q であるから、 |g(y) - g(x)| < ε/3 < ε である。

y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。


(2) x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_n) - g(x)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y) - g(x_n)| + |g(x_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。

y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n} で x に収束するようなものが存在する。
x_m ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_m) - g(x)| < ε/3 を満たす m が存在する。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n} で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x_m)| + |g(x_m) - g(x)| < ε である。

(1), (2)から g は連続である。

アーベルはベルリンでコーシーの「解析学教程」を読んだ

高木貞治著『定本解析概論』のp.36練習問題(9)

x^y (x, y は正の有理数)は有界な区域で一様連続であると書いてあります。
これはどうやって示しますか？

指数法則と二項定理および単調性

>>263
もっと詳しく書いてください。

大塚駅前の本屋での
ドキュメント７２で
インタビューされた人が
棺桶に入れてほしい本として
これをあげていた

英語翻訳版はあるのかね？

ない

高木貞治の原著本はどれも著作権が基本的に
切れている。いくつかの本（整数論の本
だったと思う）は英語版が出ているらしい。
なぜ解析概論が英訳されていないのかは
わからない。同様の本が英語圏には多くて
需要が無いと考えられるのかもしれないね。

この本がフランスの数学者が書いた本のパクリというのは本当ですか？

典型的なフェイク

>>265
いつ放送のドキュメント７２ですか？

先週の金曜日

ありがとうございます

解析概論と線形数学と
研究社の大英和

１０℃
小雨

１０℃
小雨

ハードカバーのが良い

1冊の本のみを集中的に読んだほうがいいか？
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1767373819/

８℃
晴れ

3℃
くもり

９℃
くもりのち晴れ

Tさんが小学生の時読んだという話を聞いた

T澤

U澤さんも

O川先生は
大学を卒業する前に
やっと読めたとおっしゃった

関数論の授業でこれを使っていた人は結構いるかもしれない

熊本の人が使っていたと言っていた

物理学者の村山斉は小学3年生の時に解析概論を読んだという伝説がある

Fはランドセルに解析概論を入れていた

Fは今でもランドセルの似合う男

解析概論に匹敵する幾何学の名著を目指したのが
弥永先生の『幾何学序説』(1968)だったと思うが
残っていないようだ。
梶原先生の『複素関数論』(1968)は2007年に復刊されている。

『複素関数論』の内容は
作用素環論の誰かが
中学時代には読めていたようだ

K東

高木貞治『解析概論』は今でも名著なのか
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1769938460/

永遠の名著

当時としては相当の使命感をもって書かれたものだと思う

ニュース速報
小笠原村に核ゴミ…

文章の格調が高い

１ｍｍの雨
木曜日

１６℃
晴れ

６℃
くもり時々晴れ

イプシロンデルタ論法を明示的には振り回していない。

ラグランジュ級数を明示的に書いている

高木の解析概論と
吉田の函数論は
双璧をなす

$F(u, v)$ を有理関数とする。 $F(\cos x, \sin x)$ が $\pi$ を周期とするときには、 $t = \tan x$ としてすでに有理化ができる。その場合には、$F(u, v) = F(-u, -v)$ で、それは $u^2, v^2$ および $uv$ の有理関数になり、従って、$F(\cos x, \sin x)$ は $\cos 2x$と$\sin 2x$との有理関数として表されるからである。

と高木貞治著『解析概論』に書いてありました。これについて証明をしてください。

Geminiに聞いたところ、はじめはごまかされましたが、問い詰めたところ、

F(u, v) = (u + v) * (u^2 + v^2 - 1)

という反例を答えてきました。

そして、

G(u, v) := (F(u, v) + F(-u, -v)) / 2 という有理関数を考えれば、

G(u, v) = G(-u, -v) かつ G(cos x, sin x) = F(cos x, sin x) が成り立つから、

F(cos x, sin x) の代わりに G(cos x, sin x) を考えればよいという素晴らしい解答を出してきました。

高木貞治の議論は間違っていましたね？

よくわからない

1938年

解析概論と函数論

吉田の函数論そんなにいいですかね？

良さが分かると良いのだが

失礼いたしました

B賞をもらったとき
ある先生に
Bて偉いんですかねときかれた

Fieldsて偉いんですかね

B核

本来はBB(Bergman-Bochner)核

Kähler計量も
本来はVanDanzig-Schouten計量

今日発売の数セミにStiglerの法則というのが載っている
いかなる科学的発見もその最初の発見者の名が冠されることはない、
のだそうだ
ガウス分布とかいろいろ

スティグラー自身は、この法則の発見者は社会学者のロバート・マートンであるとして、「スティグラーの法則」という呼称自体がスティグラーの法則を満たしていると主張している。

>>312
ヘイチ先生、研究科長辞めて5chすか

アングラなとこも案外良いかもしれないよ。
知らんけど。

「関数論外伝」に詳しい記述がある

特異点還元の話がないので外伝

５章の解析函数だけ別冊再販してはどうだろう？

ちくま学芸文庫で

微分方程式序説 (新しい解析学の流れ) 単行本 – 2003/12/24
岡村 博 (著)

ちくま学芸文庫にしてほしい

U書店には
山本義隆のだけ置いてあった

公安の調査対象

最近は解析概論は遠回りで
数学ガールの方が
研究には近道だと思われている節がある
「ガロアの夢」が数学科のセミナーで
講読される時代だから

「あんなこといいな、できたらいいな」
というドラえもんの世界では
食べていくのが大変

数学はこう語るものという一つの見本

気品が大切

第5章は今日もどこかで誰かの目を開く

>>331
気骨や高潔さが感じられない。

気骨と言えば
万世のために太平を開くの
決断

大袈裟な評価は嘘っぽくて好きじゃないな
肯定にしても否定にしても
権威主義者とまでは言わないけど、なんだか地に足がついてない感じ
何か言ってるようで実は何も言ってない感じが好きじゃない

日本の思想は繊細さを好む

大きいことを考えてばかりいると何かと動きにくいんじゃないか？

大志をいだけってね。

余接
よせっつってんのにマイクロローカル

ランドセルに入れていたのは
吉田洋一の函数論だったらしい
サイズ的には納得できる

ＡＩ全盛の時代になったら
本を読むのはアナクロといわれるか？