高木貞治 『解析概論』

高木貞治 『解析概論』

線形代数は特に本を丁寧に読まなくても
２点を通る直線と
３点を通る平面について
素心深考してみれば大体の見当はついてくる

>>64
俺もどちらかというと議論がチャランポラン扱いされる幾何学系寄りな私文の学部卒止まりだけど
山本義隆マンセーするならアーノルドの解析力学の教科書を読むわ。

>>68
天狗ザルの定理でしたっけ？

>>69
学部卒止まりで幾何学寄りってどういうこと？
学部卒止まりならたとえ数学科卒業でも専門なんか無いだろう。

私文の学部卒って時点で意味不明

マセマはなぜ批判されるの？

>>70
ガウスの遺稿

文系の場合、計算中心の微積分と行列の授業があるならマシな方。
演習がついていることはほぼない。
ただでさえ苦手意識を持っている学生が多いのに、そんなんで身に付くわけがない。

近くの私立大では工学部より文系のほうが
数学の成績が良いそうだ

定員が埋まらない地方の工学部では、文系入試をやっているところもあるとか。
エンジニアとして卒業させていいんだろうか。
東大なんかは文系でもガンガン数学をやらせればいいと思う。
無理やりでも勉強させればマスターする脳ミソはあるだろ。
せっかく東大に入った以上、退学にはなりたくないだろうから、きっと必死で勉強するよ。

微分積分の教科書の書き方についてですが、まず複素微分を説明して、色々な複素関数の性質を説明した後で、実微分を紹介するというのはどうでしょうか？

実微分の特殊性を強調しながら、実微分積分学を展開する教科書というのも面白いかもしれませんよね。

p進解析と並行してやってほしい

Weierstrassの二重級数定理：

f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …)

は正則で、また F(z) = Σ_{n=0}^{∞} f_n(z) は |z - z_0| ≦ ρ （ρ は ρ < r なる任意の正数）なるとき、
一様に収束するとする。
然らば a_k^(0) + a_k^(1) + … + a_k^(n) + … = Σ_{n=0}^{∞} a_k^(n) = A_k は収束して、
|z - z_0| < r なるとき F(z) = Σ_{k=0}^{∞} A_k (z - z_0)^k.

上の定理において、「f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞} a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …) は正則」と仮定しているのはなぜでしょうか？
これはべき級数であるため、自動的に収束円内で正則になるのではないでしょうか？

消えろ

43. 絶対収束・条件収束

正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。

この証明が粗雑ですね。

『定本解析概論』のp.156に「広い意味で、加法の結合律が成り立つのである。」と書いてありますが、「交換律」ですよね。

Σ a_n について考える。
Σ a_n は正項級数ではないとする。
Σ a_n が負項級数の場合には、正項級数の理論に帰着するから、負項級数でもないとする。
Σ a_n の負項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は正項級数の有限個の項を負項に変えて得られる級数だから、正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は負項級数の有限個の項を正項に変えて得られる級数だから、負項級数の理論に帰着する。負項級数の理論は正項級数の理論に帰着するから、この場合も結局正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数も負項の個数も無数にあるとする。
Σ a_n の第 i 番目の正項を p_i とする。
Σ a_n の第 i 番目の負項を -q_i とする。
Σ a_n が絶対収束する場合には、 Σ p_i ≦ Σ |a_n|, Σ q_i ≦ Σ |a_n| だから Σ p_i, Σ q_i ともに収束する。
p := Σ_{i=1}^{∞} p_i, q := Σ_{i=1}^{∞} q_i とする。

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題を使うと、 Σ |a_n| = Σ p_i + Σ q_i が成り立つことが分かる。

ε を任意の正の実数とする。
n > N_p ならば、 |Σ_{i=1}^{n} p_i - p| < ε/2, n > N_q ならば、 |Σ_{i=1}^{n} q_i - q| < ε/2 が成り立つとする。
p_i = a_{φ(i)}, -q_i = a_{ψ(i)} とする。
N_1 := max {φ(1), φ(2), …, φ(N_p)}, N_2 := max {ψ(1), ψ(2), …, ψ(N_q)} とする。
n > max {N_1, N_2} ならば、 |Σ_{i=1}^{n} a_i - (p - q)| = |(Σ_{i=1}^{l} p_i - p) - (Σ_{i=1}^{m} q_i - q)|
≦ |Σ_{i=1}^{l} p_i - p| + |Σ_{i=1}^{m} q_i - q| < ε/2 + ε/2 = ε が成り立つ。
よって、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

逆に、 Σ p_i, Σ q_i がともに収束するとする。
p_1, q_1, p_2, q_2, … という数列を (b_i) とする。
Σ_{i=1}^{n} b_i ≦ Σ p_i + Σ q_i だから Σ b_i は収束する。
数列 (b_i) を並べ替えれば数列 (|a_i|) が得られるから、
Σ |a_i| も収束して、 Σ |a_i| = Σ b_i が成り立つ。
よって、 Σ a_i は絶対収束する。
前半の議論から、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

以上の結果をまとめると、

「Σ a_n が絶対収束する ⇔ Σ p_i, Σ q_i が収束する」が成り立つ。
上のどちらかが成り立てば、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。

43の条件収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。

訂正します：

43の絶対収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。

高木貞治さんは、 Σ p_i, Σ q_i が収束するときに、 Σ a_i が絶対収束することを証明していません。

高木貞治さんは、

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

を証明するだけではなく、

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、各部分級数が収束の場合、 Σa_n も収束する。」

も証明すべきだったということですね。

「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」

この命題ですが、有名なオイラー公式を証明するときに、 sin のパートと cos のパートに分けるときに必要になりますよね。

藤田宏先生の「大学での微分積分１、２」って、あまり話題にならないけど、どうなんだろう。
曲がりなりにも大物が書いた大著だが。

つづきとして関数解析もある。

リーマンの定理

　絶対収束しないが条件収束をする実数級数は、
項の順序をうまく変更することで、任意の実数値に収束するように、
（あるいは発散するようにも）変形できる。

こういうことを書いてある本をあまり見かけないようだった。

「45. 収束の判定法（条件収束）」のp.165に

「若干項の和は絶対値において (p + q) / (2 * n) よりも小である」と書いてありますが、これ間違っていますよね。

>>94
今どきそんな定理を細かくやるよりももっと優先してやるべきことがある

>>96

斎藤毅さんが同じことを書いていました。
ですが、そういうことを徹底していくと、本当につまらない本になってしまうと思います。

>>95

についてですが、「1/n よりも小である」というのがもっとも自然な評価だと思います。

斎藤毅さんには、何のために数学を勉強するのか？と訊いてみたいです。

「次の数学の分野を勉強するため」としか考えていないのではないでしょうか？

π が無理数であることの証明や e が超越数であることの証明などは書くべきだと思います。

『解析概論』は適度に遊びがあるところがいいと思います。

>>100

Michael Spivakさんの本はやさしい入門書ですが、ちゃんと書いてあります。

226事件が起きた頃に書かれていたような本を批判していてもしかたがない。
まるでその後に解析学が進歩していなかったかのような印象をあたえる。

解析概論の数学のスタイルはいまとなってはとても古いと思う。
たとえば関数のクラス、Cn級の関数というような話がはっきりと
書かれていただろうか？

本来広い範囲の内容をカバーする講座ものの中の１冊だけを、
単独で売り続けることは少し考えものだと思う。なぜなら講座
もののうちの１冊であったときには、同じ講座もののなかの
それ以外の書籍を読者は参照したり、別途買ったりして読み得る
状況だったのに、時代が移ってそれらその本以外の書籍が手に
入らないかあるいは読者にとってそれら前提知識が何に書かれて
いるかあるいはそういう書籍の存在が容易に想像がつかない形で
売られてしまうからだ。
　高木貞二の本として、解析概論、代数学講義、初等整数論講義、
代数的整数論の４つが主だった数学書だろうと思うが、ではこれら
の４冊を読めば、それら全部が理解できるか、たとえば代数的整数論
に書かれている内容が把握できるかといえば断じてＮＯだ。たとえば
ガロア理論については他書を読んで理解していることを暗黙に前提と
して書かれていると思うが、本文中ではガロア理論についてはＸＸＸ
などを読むと良いというようなヒントとか指示はしていなかったと思う。
代数学講義にはアーベルの理論はその姿を概ね再現する形で出てはいて
も、ガロアの理論の解説にまでは至っていなかったと思う。

高木貞治は数学者だが
高木貞二は確か心理学者

『定本解析概論』p.173

s(x) の微分の計算ですが、右側微分が存在することしか証明していません。

p.172の(C')で定義域が [a, b) となっています。
不自然だと思って、TeX化される前の解析概論を調べたところ、 [a, b] となっていました。

>>106

>s(x) の微分の計算ですが、右側微分が存在することしか証明していません。

別に左側微分が証明することも同時に簡単に示せるにもかかわらず、こういう気まぐれを起こします。

算術幾何平均はよく引用される

dx=Δｘの欺瞞を一生許さない

確かにそこでは引っかかった

しかしもう忘れた

>>44
小平解析入門は昔から評価が割れるけど、よく見かける「教科書に使うのは難しい…」っていう意見はそういう意味なんだね。
でも関数論が専門の先生（かなり若い人）が、解析の入門で1冊を選ぶなら小平解析入門ってツイッターで言ってたよ。
かなり有名な人。

小平先生は関数論とその次も書いているから、つなぎも考えて三部作トータルで完成品を作っておられるのかも。
しかし、残念ながら、人生は短く、三部作全部には付き合ってられない。w

逆に三部作を全てマスターしたら数学で食べて行けるかもw
複素多様体論を通読した人が周りにいない。

数学で食べていくとしても、三部作完全マスターがタイパ良か疑問である。w

早慶より日本一のおしゃれ校明治学院、大日本帝国好調三連勝の要明治。

データ解析は生物系だから。明治のほうが。

俺は分岐する応用分野より進路はまず数学科のほうがいいと思う。

私学か市立の。

早稲田の先進理工は数学板よりつまらない。

慶應と慶応の違い。日吉と三田。全く違う大学だ。

50歳まで数学科にいてそこから金持って天下りどうよ。

女は他人のために稼いだらあかんわ。

東大京大が底辺以下で私大がと。

矢上慶應より明治理工。慶応矢上のほうがそれはいいけど。

人を奴隷に見て人の中に他人を見るとだめ。

複素解析スレで解析概論を勧められて、改訂３版を購入しました。
その後は何を質問しても全部無視されてしまいまして、スレ違いというルールがあったんですね。
でも皆さん雑談も普通にしてるので、やっぱりバカにされたのかなと思います。

最初は、田島一郎先生の解析入門で勉強を始めるつもりでした。
解析概論は、すごく状態の良い本を安く買えました。

小平解析入門→　小平複素解析　→小平複素多様体論

高木数学雑談→高木数学小景→高木初等整数論講義

解析概論で勉強が行き詰まって小平先生の解析入門に救われたって話はわりと聞くよ

小平の解析入門は素晴らしい

ワープロも、TeXも無かった時代に、
数学書の原稿は如何にして作られ準備
されたのだろうか。
　手書きの原稿が残っているのだろうか？
それとも出版されたら手書きの原稿は
棄てた？　なんどか校正をするのだと
したら、下刷り・校正刷りなどのやり取り
があったのかもしれないが、完成版が
出来たら、それらは廃棄されてしまった
のだろうか。もしも残っていれば、それらは
出版された本の１冊よりもずっと価値が
ありそうだが。

Weierstrassの手書きの原稿は
いくつか残っている

RIMSの講究録も初期は手書きが多かった。
それをスキャナーでPDF化されたものが
O.A.になっているが、スキャンの中間調
が出ないと、かすれたり、いろいろあって、
最初の印刷物に比べるととても読みにくい
ものが、手書きのものには多いようだ。
いまさら手書き原稿をTeX化などしない
のだろう。LNCSなども、ドットプリンター
とか、あるいはIBMのゴルフボールプリンタ
ーで印刷されていた頃の論文はとても読み
にくい。LaTeXで整形し直して欲しいと思
うが、完全自動では無理だろうから、AIが
将来賢くなれば、わけのわかった人間との
協調作業で、綺麗な整形文章にできるの
だろうか？

解析概論はあくまでも概論なのであって、
あの一冊でもって解析学全体を把握できる
といったものでは全く無い。この本を
読んだ後にどのような本を読みどのような
後に続く内容を学ぶべきであるかについて
の参考となる記述が無いのが残念であろう。

著者の知性に触れることができる

正確に引き写したものを
そつなく編集してある

続解析概論
のようなものを誰か文体を模写して
格調高く片仮名書きで書かないもの
かなと思ふ。

>>127
馬鹿にされたのではなく回答者の性格が屈折しているだけの話だと思う
荒らしのアンチにはわざわざアンカを打って反論するような性格
素直な学生には相手が困惑するような回答をアンカ無しで書き捨てるような性格

解析概論は名著

(´・ω・`)

佐武一郎著『現代数学の源流』という本に、微分積分の参考書としてなぜか解析概論のみが勧められています。
単に自分が若い頃に勉強したなつかしい本だからという以外に理由があるのでしょうか？

佐武さんは、日本語で読めるのは日本人の特権だみたいなことまで書いています。

いつもの頭の悪いやつ
またキターッ

解析概論って英語版でてなかったかな？

佐武一郎「線型代数学」は英訳あり

松島の「多様体入門」も

高木貞治：代数学講義って英語訳でてなかったかな。
高木貞治：代数的整数論って英語訳でてなかったかな。

最近復刊した笠原先生の微分積分学か小平解析入門のどちらかでいいんじゃないの？
一松信 解析学序説初版とか溝畑数学解析とか名著揃いでホント日本人冥利に尽きる

解析学序説の函数論はよい

一松解析学序説と小平解析入門が解析学徒の入門書の双璧ですか？

幾何学徒にも代数学徒にもおすすめ

なるほど素晴らしい教科書なんですね
この集合写真の７年後には出版されてますから
この頃には構想もあって岡先生にもご相談されていたかもですね

昭和30年8月　J.P.Serreの訪問を受ける
中野茂男・秋月康夫・一松信氏らと共に奈良ホテルにて
https://imgur.com/rufGfFZ

小平邦彦さんの本は、自己満足的なこだわりが感じられます。
一松信さんの本は、色々なことが雑多に書かれています。
上巻の最初のほうは、高校数学の続きのような感じで書いてあり、途中でイプシロン-デルタ論法が登場します。ですので、構成が綺麗な本ではないです。
溝畑茂さんの本は何がいいのかさっぱり分かりません。
笠原晧司さんの本も、変な本です。積分のところで最初は被積分関数の連続性を仮定しています。そのまま行くのかと思えばそうではなく、途中で一般のリーマン積分について説明しています。そして、ルベーグ積分についても説明しています。微分方程式についても書いてあります。
杉浦光夫さんの本は、非常に丁寧でいろいろなことが書いてある一方で、泥臭く汚いです。

おすすめは、Michael Spivak著『Calculus Fourth Edition』をまず読み、その後、James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』を読むことです。

ありがとう
参考になります

スピヴァックは和訳でもよい

>小平邦彦さんの本は、自己満足的なこだわりが感じられます。
>一松信さんの本は、色々なことが雑多に書かれています。
ある意味両極端だから
両方持っていれば有益ではなかろうか

留数定理の周辺がどう書かれているか

解析概論にはルーシェの定理の
逆関数の展開の収束半径への応用が
書かれている

>>151
留数定理から解析接続の導入まで書かれていますね
多変数も良さそうだしベクトル解析やフーリエ解析まで入って雑多に感じる人もいらっしゃるのかな
函数論は特によくまとまっていて自習用のテキストとして初版は◎でしょうか
小平解析入門は微分方程式を他巻に譲ってしまいましたね

一松の序説は初版を復刊して欲しいな

スピヴァックは一変数の本はとても面白い良い本だが
多変数のは他の本読まないと計算できるようにならない

スピヴァック多変数みたいな本があること自体は良いと思うし
持ってて良いが尖った本の一つだと思ってる

>>16
おまえが笠原読んでないことはわかった

>>161
高木はラグランジュの逆関数定理も書いてるから
そういう説明しやすい

附記として