数学サイドでも実数の構成から始める必要はないと思うけどね
実際に公理として完備性と同値な条件を設定して議論してを進める本も多い、けどその中で「公理を満たすものが本当に存在するのか？」なんてことまで議論する本は少ないだろう

選択公理も歴史的な背景で特別視されてるだけで、今となっては当たり前のものとして認めていいと思うよ