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第４章　行列式

4.3　置換の符号

定理4.3.5　置換を互換の積として書くとき、現れる互換の個数の偶奇は置換の身によって決まる
証明　差積に対して置換を作用させた場合を考える

定理4.3.6　sgn(σ)＝(-1)^i　iは置換を互換の積で表したときの互換の個数

4.4　n次の行列式

定理4.4.4　行列の列に関する多重線形性と交代性
系4.4.5　列の掃き出しに関する普遍性
定理4.4.6　写像Fが多重線形性と交代性を満たすならば
　F(a1,…,an)₌F(e1,…,en)det(a1,…,an)
定理4.4.8　det(AB)=det(A)det(B)

証明
F(e1,…,en)=det(Ae1,…,Aen)として
F(b1,…,bn)=F(e1,…,en)det(b1,…,bn)　かつ
F(e1,…,en)=det(Ae1,…,Aen)=det(a1,…,an) であるから
定理が成り立つ

定理4.4.9　Aが正則行列⇔det A≠0
定理4.4.10　Aｘ＝０が非自明解を持つ⇔det A＝0
定理4.4.11 det tA=det A
系4.4.12 行列式は行に関しても多重線形性と交代性

4.5　余因子展開とその応用

定理4.5.3　Aの余因子行列をA^とすると　AA^＝A^A＝det A E
定理4.5.4　Aが正則行列ならばA^(-1)＝A^/(det A)
系4.5.7　クラメルの公式