1.5　解の存在条件と解のパラメータ表示

連立方程式　Ax=b　A：係数行列

拡大係数行列(A|b)：Aの右端に列ベクトルbを追加した行列

定理1.5.1　A m×n（m行n列）行列　b　m次数ベクトル　とするとき

　rank((A|b))=rank(A)　⇔　Ax=bに解が存在する

証明
（←） rank((A|b))=rank(A)でないなら、 rank((A|b))＞rank(A)　
だから、掃き出し法により　0x1+…+0xn=1　という方程式が出来上がるが
任意のx1,…,xnについて右辺は0なので、この方程式は階を持たない
対偶により、方程式が解を持つなら、Aと(A|b)のランクは一致する

（⇒）rank((A|b))=rank(A)のときは、
掃き出し法により簡約化された行階段行列を求めて
主成分のある列以外の変数を０とおけば、解が求まる