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2.3　線形写像の性質

定理2.3.1　fを線形写像とすると
{f(v1),…,f(vk)}が線形独立 ⇒ {v1,…,vk}は線形独立

命題2.3.2　線形写像fに対して以下は同値
1)v≠0⇒f(v)≠0
2){v1,…,vk}が線形独立 ⇒ {f(v1),…,f(vk)}は線形独立

命題2.3.3　線形写像fが単射であることと以下は同値
f(v)=0⇒v=0

命題2.3.4　線形写像f:R^n→R^mの表現行列をAとするとき、以下は同値
1)fが単射
2)Ax=0は自明な解しか持たない
3)rank(A)=n

命題2.3.6　線形写像f:R^n→R^mの表現行列をAとするとき、以下は同値
1)fが全射
2)任意のbについて、Ax=bの解が存在する
3)rank(A)=m

核空間Ker(f)：f(v)=0となるvの全体

定理2.3.8　線形写像fが単射⇔Ker(f)={0}