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3.2　基底と次元

補題3.2.1　{v1,…,vk｝　線形独立　&　v_k+1∉<v1,…,vk>
⇒　{v1,…,vk,v_k+1｝　線形独立

定理3.2.2　R^nの{0}以外の部分空間に基底が存在する

定理3.2.3　R^nの部分空間の基底をなすベクトルの個数は一定

次元：線形空間Vの基底をなすベクトルの個数　dim V

定理3.2.6　線形空間Vの線型独立なベクトルの最大個数はdim V

定理3.2.7　行列Aに対して　rank(A)＝dim Im(A)

定義　線形写像fに対してその階数rank(f)を、dim Im(f)と定義する

系3.2.9　線形写像fに対してrank(f)＝n-dim Ker(f)

定理3.2.10　V,Wが同次元のとき、線型写像f:V→Wに対して
fが単射⇔fが全射⇔fは線型同値（全単射な線型写像）

系3.2.11　二つの線型空間V,Wに対して
dim V ＝ dim W　⇒　V=W

定理3.2.12　Vをn次元の線形空間とし、v1,…,vnをVのベクトルとするとき、以下は同値
1)v1,…,vnは線型独立
2)<v1,…,vn>=V
3){v1,…,vn}の基底

命題3.2.13　
V　線型空間　v1 ,…, vn　Vの基底
W　線型空間　w1 ,…, wn　Wの元　のとき
f(vi)＝wiを満たす線形写像f：V→Wが一意に存在する

系3.2.14
V　線型空間　dim V=n　v1 ,…, vn　線形独立なVの元　のとき
(n-m)個のVの元を追加してVの基底になるようにできる