>>177 補足

ホイヨ
ご参考

https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/cauchy-sequence-and-convergence/
WIIS
コーシー列と収束列の関係（コーシー列の収束定理）
トップ 数学 実数 数列
実数の連続性を認める場合、数列が有限な実数へ収束することと、その数列がコーシー列であることは必要十分になります。

1.収束する数列はコーシー列

収束列はコーシー列でもありそうです。実際、収束列はコーシー列です。

コーシー列が収束するための条件
数列が収束する場合、その数列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は収束するのでしょうか。順番に考えます。

コーシー列の収束定理
コーシー列{xn}
が与えられているものとします。コーシー列は有界であるため{xn}
は有界です。有界な数列は収束する部分列を持つ（ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）ため、
{xn}は収束する部分列 {xl(n)}
を持ちます。つまり、{xn}
はコーシー列であるとともに収束する部分列を持つため、先の命題より、
{xn}は有限な実数へ収束します。

命題（コーシー列の収束定理）
数列{xn}
がコーシー列ならば、
{xn}は収束する。

実数の連続性の公理から導かれるボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。

https://wiis.info/math/real-number/convergent-sequence/bolzano-weierstrauss-theorem/
WIIS
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
トップ 数学 実数 数列

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%8E%EF%BC%9D%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
有限次元ユークリッド空間 ℝn における収束に関する基本的な結果である。定理は「ℝn 内の任意の有界数列が収束する部分列を持つこと」を主張する[1]。これと同値な定式化として、「ℝn の部分集合が点列コンパクトであるための必要十分条件は、それが有界閉集合となることである[2]」という形で述べることができる。この定理をしばしば (ℝn の) 点列コンパクト性定理とも言う[3]。
歴史と意義
ボルツァノ–ヴァイヤシュトラスの定理は、ボルツァノとヴァイヤシュトラスという二人の名前が冠されているが、実際には1817年にボルツァノが中間値の定理の証明において補題として証明したのが初出である。50年ほどしてから、この結果自身の重要性が見いだされ、ヴァイヤシュトラスによって再び証明された。それ以降、実解析における本質的な定理と位置付けられた。