γを無理数と仮定する
仮定から、実数直線R上の無理数γの任意の近傍に属し、γに十分近い
可算無限個の 57/100＜q/p＜γ なる有理数 q/p q＞57 p＞100 に対して
γ∈(q/p、q/p＋1/p)⊂(57/100、58/100) である。また、q/p＋1/p＜58/100 だから、
γ−(q/p＋1/p)＞γ−58/100
　　　　　　＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n))−58/100
　　　　　　＝(1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−log(7)−58/100)＋lim_{n→+∞}(1/8＋…＋1/n＋log(7)−log(n))
　　　　　　＝(2＋1/4＋＋1/5＋1/7−58/100−log(7))＋lim_{n→+∞}(1/8＋…＋1/n＋log(7)−log(n))
　　　　　　＝(2＋315/700＋100/700−406/700−log(7))＋lim_{n→+∞}(1/8＋…＋1/n＋log(7)−log(n))
　　　　　　＝(2＋9/700−log(7))＋lim_{n→+∞}(1/8＋…＋1/n＋log(7)−log(n))
　　　　　　＞0
しかし、γ＜q/p＋1/p だから、γ−(q/p＋1/p)＜0
よって矛盾が生じる。この矛盾はγを無理数と仮定したことから生じたから、背理法によりγは有理数である

大雑把だが、γの有理性の証明はこのような証明になる