>>399
>「実数から実数への連続関数は
>　すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」

ふっふ、ほっほ
座興で、1問のみ答える
（図に乗って 次々に質問攻めされそうなので 先回りｗ）

いま、超能力を使って 某多変数関数論の名誉教授をエスパーした結果
答えはNoだと

追伸
因みに、Copilot さんに喰わせると
Q 実数の連続関数は、すべての有理数の点の上での値だけで特定できるか？

(注：念のためにいうが 下記は疑ってかかるように　；ｐ)
A いい質問ですね！結論から言うと、一般には特定できません。有理数上の値だけでは、実数全体での連続関数を一意に決めることができない場合があります。
理由は、有理数の集合は実数の中で「稠密」ですが、「稠密」であるだけでは十分ではないからです。例えば、次のような異なる2つの連続関数 ( f(x) ) と ( g(x) ) を考えます。
- ( f(x) ) と ( g(x) ) はすべての有理数 ( x ) 上で同じ値を持つ。
- しかし、ある無理数 ( x_0 ) では ( f(x_0) ＼neq g(x_0) ) となる。
このような関数の例があるため、連続関数を一意に決めるには、有理数だけでなく実数全体の情報が必要になるのです。
ただし、もし関数が 一様連続 であれば、有理数上の値から実数全体に拡張することが可能です（これは「稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる」という性質によります）。
つまり：
- 一般の連続関数の場合 → 有理数の情報だけでは決定できない。
- 一様連続関数の場合 → 有理数上の値だけで決定できる。
興味があれば、ワイエルシュトラスの近似定理 や 一様連続性と完備性 について調べると、より深く理解できると思います！ こういう数学の議論って面白いですね。