γ:＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n)) を有理数と仮定する
γに対した或る互いに素な正の整数 p、q が存在して、γ＝q/p である
よって、γ−q/p＝0 である
しかし、有理数γは 57/100＜γ＝q/p＜58/100 を満たすから、γ−q/p を下から評価すれば、
γ−q/p＞γ−58/100
　　　　＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n))−58/100
　　　　＝(1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−log(7)−58/100)＋lim_{n→+∞}(log(7)＋(1/8＋…＋1/n)−log(n))
　　　　＝(2＋(1/4＋1/5＋1/7−58/100)−log(7))＋lim_{n→+∞}(log(7)＋(1/8＋…＋1/n)−log(n))
　　　　＝(2＋(315/700＋100/700−406/700)−log(7))＋lim_{n→+∞}(log(7)＋(1/8＋…＋1/n)−log(n))
　　　　＝(2＋9/700−log(7))＋lim_{n→+∞}(log(7)＋(1/8＋…＋1/n)−log(n))
　　　　＞0
だから、0＞γ−58/100＞0 である。よって、γ＝58/100 かつ 0≠0 である
これは、57/100＜γ＜58/100 かつ 0＝0 なることに反し、矛盾する
故に、背理法により、γは無理数である