>>651
>「アーベル群の指標」を正しく用いれば、完璧に解けるはず。

古典理論の中に既に答えがあった。（高木貞治著『代数学講義』参照）

一般4次方程式の4つの根、x_1,x_2,x_3,x_4 に対して
S_4の正規部分群Vについての（一般化された）ラグランジュ分解式は

x_1+x_2+x_3+x_4, x_1+x_2-x_3-x_4, x_1-x_2+x_3-x_4, x_1-x_2-x_3+x_4

の4つ。最初の式はそれ自体対称式、残り3つはVの作用によって±1倍の違いが生じる。
したがって、その2乗たちはVの作用で不変で、係数体上のある3次方程式の根になる。
だから、まずこの3次方程式を解いて、その平方根から上の後者3つの量が得られる。
最初の一つは元の4次方程式の係数からそのまま得られる。
あとは、>>536と同様に連立一次方程式に帰するから、x_1,x_2,x_3,x_4が求められる。