つづき

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集合の公理系
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公理系
ZFC公理系

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集合
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目次
概要
集合とは
元
等しい集合
部分集合
空集合
集合に対する操作
対
合併
共通部分
その他の操作
冪集合

概要
「ZFC公理系」を満たす数学的思考の対象を集合(set)といいます。 自然数や実数などの集合も、ZFC公理系から出発して構築していくことが出来ます。
ZFC公理系を満たすもの以外にも、 数学的思考の対象（object）の集まり(collection)を考えることは出来ますが、 集合論ではそのような集まりは議論の対象から外します。 これは、何でもかんでも扱おうとして、理論が破綻しないようにするためです。 （何でもかんでも扱おうとすると生じてしまう矛盾の例として、 ラッセルの背理(Russell's paradox)というものがあります。 興味があれば調べてみてください。）

集合とは
「概要」でも述べましたが、 集合論ではZFC公理系を満たすような物を集合と呼びます。

集合に対する操作
対
2つの集合 a, b から、これら2つを要素として持つ集合 c ＝ {a, b} を作ることが考えられます。 このような操作が出来る（このような集合が存在する）ということを仮定するのが「対の公理」です。
∀a∀b∃c∃x(x∈c ⇔ x＝a∨x＝b)
このようにして得られる集合 {a, b} を対（pair）と呼びます。 このとき、a と b の順番は関係ありません。 すなわち、{a, b} と {b, a} はどちらも同じものになります。 順序が関係ないということを明示するために、対を非順序対（unordered pair）と呼ぶこともあります。
また、a ＝ b の場合、対 {a, a} を単に {a} と書き、a のシングルトン（singleton）と呼びます。 a と {a} は全く別の集合になります。
(引用終り)
以上