>>240
>離散的な存在である整数についてのS内での命題の証明をするのに、
>連続的な存在である実数や複素数などについての解析学を使ってS'内で
>証明した場合に、そのS'内部での証明の結果は、
>Sにおける命題の成立を保証するか？

その話は、下記の「整数論」ja.wikipedia の歴史そのものだね
つまり、「整数論」の中だけで考えるのは狭くて不便だ
だから、数論の世界を広げて、そこで数学をやろうということだ

で、いま思いついた即席のたとえ話をしておくと
フェルマーの最終定理 X^n+Y^n=Z^n （n>=3 でX,Y,Zは整数）
これを満たす整数解は存在しない という
もし、人類が 無限の演算能力があれば、
X^n+Y^n=Z^n n>=3 の全ての場合を計算し尽くせば 証明は終わる
しかし、それは出来ないので、”無限の演算”を 別の数学に置き換える必要があるのです
フェルマーの最終定理で、それを実行したのがワイルズさんで
下記の”数論幾何学”を使った（らしい　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理
n = 3：オイラー

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96
数論（英語: number theory）。整数論とも言う。
概要
フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。

分野
通常は代数学の一分野とみなされることが多い（しかし、解析学や幾何学、確率論など使えるものはなんでも使われる）。おおむね次の四つに分けられる。

初等整数論
他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。

代数的整数論
ガウスの整数を研究したカール・フリードリヒ・ガウスがおそらくこの分野の創始者である。体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。代数体のアーベル拡大の統制を記述する類体論も、この分野の大きな成果である。元来の岩澤理論もここに分類されよう

つづく