イデアルって微分形式じゃん

どうしてこういうこと教えてくれないのか

働け

X⊂R^n
p = (0, 0, ..., 0)∈Xとする

X上の関数f: X → Rで、f(p) = 0となるもの全体をmとする
m/m^2がpにおけるXの余接空間になる

X = R^nのケース
Xのpにおける接空間は、R^n
f(p) = 0となる関数は、座標関数x1, ..., xnで生成される
x1, ..., xnは接空間の座標関数だから、これは余接空間の元とみなせる

X⊂R^nのケース
陰関数定理を使えば、ある番号i+1以降の座標関数は、x1, ..., xiの関数で表せる
Xのpにおける余接空間の元は、↑のR^nの余接空間の元を、Xのpにおける接空間に制限したもの（つまり、x_{i+1}以降を陰関数定理による関係式で置き換える）

もちろん、関数のクラスはC^∞とか多項式とかに制限する必要がある
陰関数定理も常に使えるわけじゃない
代数幾何の文脈ならエタールなんとかに置き換える必要があるだろう

>>1
はい、この書き込みはちょっと数学的な誤解や混同が含まれている発言だと思われます。解説しますね。

1. 「イデアル」とは

環（ring）論に出てくる イデアル（ideal） は、環の部分集合で加法について閉じており、さらに環の任意の元を掛けてもまたその集合に入るようなものです。
例えば、整数環 ℤ のイデアルは nℤ（nの倍数全体） という形の集合です。

2. 「微分形式」とは

一方、微分形式（differential form） は微分幾何学や多様体論に出てくる概念で、積分や外微分（d演算子）と相性が良い対象です。例えば、1次微分形式 dx, dy, dz の組み合わせや、それを使った面積・体積要素のようなものです。

3. どうして「イデアル＝微分形式」みたいな発想が出るのか

これはおそらく、多様体や代数幾何での「消える関数のイデアル」と「微分形式」の対応を混同しているのだと思います。

代数幾何では、点や部分多様体に対応して「そこに消える関数のイデアル」を考えます。

また、イデアルの生成元（関数）を微分すると、その「消え方」や「接空間」を捉えることができます。

特に「コッタン微分」や「カールタン微分形式（Cartan forms）」の議論では、イデアルと微分形式がある種の「同じ情報を表す別の見方」として出てきます。

4. 書き込みの意図

なので「イデアルって微分形式じゃん」というのは数学的に厳密には 間違い ですが、背景としては

代数幾何や多様体論ではイデアルと微分形式が「局所的に消えるもの」として対応する

なのに、普通の教科書ではそこを直接つなげて説明してくれない

という不満を口語的に書いたのだと思います。

✅ まとめると：

「イデアル＝微分形式」ではありません。

ただし代数幾何や微分幾何の文脈では、イデアルで部分多様体を切り出す → その微分から接空間や微分形式を得る、という関係があるので、そこを直感的に「同じだ」と感じている可能性があります。

C^∞が一番良い仮定だろう

たいていの関数はコンパクトサポート付きC^∞関数で近似できるしな

イデアルが微分形式なんじゃなくて
微分形式がある種のイデアル商ということ

座標関数を接空間に制限すると、余接ベクトルと同一視できる

R^2で考える
p = (0, 0)とする

R^2のpにおける接平面は、R^2
接ベクトルv = (v_x, v_y)に対して、dx, dyは

dx(v) = v_x
dy(v) = v_y

で定まる
つまり、dx, dyはR^2の接平面の座標関数

C⊂R^2が、f(x, y) = 0で定義されてて、
p∈C、pで∂f/∂y ≠ 0とする
陰関数定理より、y = g(x)と書ける
Cのpにおける接線Lは、y = g'(0)x
上のdx, dyをLに制限すると

dx = dx
dy = g'(0)dx

R^nに埋め込まれたC^∞多様体なら、余接ベクトルはこのようにして得られる

dxやdyが元々何だったかといえば、R^2の座標関数x, y

R^2の原点で0になるC^∞関数fをとる

f = gx + hy (g, hはC^∞)と表せる
（∵ f(a) - f(0) = ∫_{0}^1 ∂/∂t f(ta)dt をチェインルールで計算すればいい）

このような関数全体の集合をmとすると
mはx, yで生成される

x, yの2次以降を無視すると接空間の座標関数になる
m/m^2はR^2の原点における余接空間になる

C⊂R^2に対しては
特異点がなければ、陰関数定理からy = g(x)とかけるから
上記をすべてこの関係式で割ればいい

結局、余接ベクトルって何だったかと言えば、
全空間の接空間の座標関数x, y, ... を、今見ている多様体の接空間に制限したもの

ミルナーの微分トポジーはその観点で書かれてるね

>>1
イデアルってどうやって積分するんですか？

>>14
微分形式なら積分ができるとでも言うのか

>>15
微分形式は積分するためのものだが？

>>16
たとえば有限体上の代数多様体のケーラー微分の切断に対して積分ってどう定義するの

>>17
さあ
積分できないならそれ微分形式じゃないよ

テンソル積や外積はイデアルで定義されるから、それを言ってるだけだな

>>19
ｋｗｓｋ

>>18
そうやってすぐ誤魔化しをする

>>21
？
積分できないものを微分形式と言うのが誤魔化しだろ

>>14
上に書いてあるじゃん
可微分多様体と全く同じようにすればいい

>>23
？
じゃあZのイデアル(3)を積分してみて

積分領域は？

は　よ　Z　の　イ　デ　ア　ル　(3)　を　積　分　し　ろ　や　あ　ー　！　😡

>>24
アホすぎ

できないなら黙れよ、バーカ

>>24
イデアルを積分って何言ってんの？

>>24
「微分形式なら積分できる」という話を持ち出したのはお前
イデアルがあればその元を余接空間の元と見なす方法は上に書いてある
その方法で積分ができるかどうかはお前が確かめろ

>>30
なんだこいつ、馬鹿か？
積分できないならそれ微分形式じゃないよ

>>31
それはお前が提起した問題だから自分で確かめろって話

>>32
？？？

すまん、このスレの結論出していいか？

結論:イデアルは積分できないので微分形式じゃない

>>34
お前が勝手な定義を採用しているだけ

そもそも「イデアルが微分形式」なんて誰も言ってない
文章を正しく読めよ

>>36
スレタイ読めスレタイ

>>37
お前はたとえば「実数は完備」って書いてあったら、0や1などの数が完備だと解釈するの？数学向いてないと思うよ

草ーw

実数は完備という日本語もどうかと思うが
実数体とか連続体とかいうべき

ウィキペディアか何かで用語を覚えてるだけで数学が理解できてないんだろうな

座標環の個別の元は余接空間の元としての意味を持つ
それらの全体はm/m^2だからイデアルだと言っている
楕円関数がC上の関数だと言っても複素トーラス上の関数だと言っても通じるのと同様

>>41
R^2上の微分形式ω=cos(y)dx-sin(x)dyをそのイデアルm/m^2の形で書くとどうなるんだよ？

>>42
自分で考えろカス

>>42
cos(y)dx -sin(x)dyだろ

>>43
分からないなら、分からないと素直に言え

>>45
だから、cos(y)dx - sin(x)dyだっつってるじゃん

ベクトル束とか層とか勉強した方が良い

>>42
> 微分形式ω=cos(y)dx-sin(x)dyをそのイデアルm/m^2の形で書くと

微分形式と余接空間の違いも分かってない
耳学問で知った気になって手を動してない証拠

各点の局所環よりもアデールを考えるほうが自然ですか？

アフィンなら結局OXと変わらん