定理1:
選択公理⇔整列可能定理

よって実数の集合Rに整列順序を入れることができる。以下、この順序で考える。

定理2:
文章で定義不可能な実数が存在する

証明:
すべての文章の集合は高々可算であるため。□

定理2より、文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾。
つまり、選択公理は偽だった。