実用上数学ができるために「公理」は何なのか

多くの数学者は、別に公理的集合論や数理論理学の原理まで遡って数学をやっているわけではない
ということは、ある程度の厳密性を犠牲にしても、「これを認めれば実用上十分に数学ができる」という概念の集まりがあるはず
それは一体何なのか

集合
順序対
整数

働け爺

有理整数環があれば有理数、実数、複素数の構成は代数学で出来る
代数学をやるためには集合・写像とその操作があればいい

有理数→実数も実用シーンで構成なんか気にしてないから、実数も独立で与えといたほうがいいんじゃないか

ℝ(=四則演算+順序+連続性)が与えられれば、1で生成される部分環としてℤも手に入る
連続性から下に有界な集合が下限を持つから、ここから{0, 1, 2, ... }の整列性が言えて、ℕも手に入る
つまり、集合論とℝを認めればいい

一階述語論理も要る

代数閉体の存在性に選択公理が必要

二階述語論理

三回術後論理

>>1
砂上の楼閣

「可算集合の可算和は可算集合」は選択公理がないと証明できない。
測度論をやるときに困る

測度論まで行かなくても、何かしら点列を構成するとき、
あるいは点列から部分点列を取るとき、従属選択公理がないと取れないことがある

で、選択公理のたぐいを仮定するなら、もうZFCと大差ない

選択公理は集合論じゃん

>>12
>ZFCと大差ない
じゃあお前は数学やる時すべての概念∅から構成してろよｗｗｗｗ

>>12
何をもって大差無いと言ってるのか分からん
証明の効率の点では、最初から集合や実数の概念を認めるのと、ZFCまで遡るのとでは雲泥の差
証明できる命題の量では、当たり前だが、いくつかの概念を認めた程度ではZFCに遠く及ばない

集合だけでなく真のクラスを扱えないと圏論ができない