「可算集合の可算和は可算集合」は選択公理がないと証明できない。
測度論をやるときに困る

測度論まで行かなくても、何かしら点列を構成するとき、
あるいは点列から部分点列を取るとき、従属選択公理がないと取れないことがある

で、選択公理のたぐいを仮定するなら、もうZFCと大差ない