>>14

とりあえず選択公理は必要(>>12)
空集合が扱えないと問題外なので、空集合の公理も必要
和集合とベキ集合が扱えないと問題外なので、和集合の公理とベキ集合の公理も必要
置換公理がないとロクな集合が作れないので、置換公理も必要
外延性公理がないと集合の等しさに関する議論が崩壊する(異なる表現方法で記述した本質的に同一の集合が
実際に等しいことが証明できなくなる)ので、外延性公理も必要
対の公理がないと {x,y} という2元からなる集合が扱えず問題外なので、対の公理も必要

無限公理の必要性は微妙だが、どのみち自然数がないと困るので、無限公理に近しい公理は必須
正則性公理は通常の数学では必要ないと思う

このように、実用上数学に必要な公理を並べてみたら、ZFCと大差ない
「じゃあお前は全て∅から構成してろよ」じゃないんだよ
実際に1つ1つの公理を精査したら「必要」なんだから。