実用上数学ができるために「公理」は何なのか

多くの数学者は、別に公理的集合論や数理論理学の原理まで遡って数学をやっているわけではない
ということは、ある程度の厳密性を犠牲にしても、「これを認めれば実用上十分に数学ができる」という概念の集まりがあるはず
それは一体何なのか

集合
順序対
整数

働け爺

有理整数環があれば有理数、実数、複素数の構成は代数学で出来る
代数学をやるためには集合・写像とその操作があればいい

有理数→実数も実用シーンで構成なんか気にしてないから、実数も独立で与えといたほうがいいんじゃないか

ℝ(=四則演算+順序+連続性)が与えられれば、1で生成される部分環としてℤも手に入る
連続性から下に有界な集合が下限を持つから、ここから{0, 1, 2, ... }の整列性が言えて、ℕも手に入る
つまり、集合論とℝを認めればいい

一階述語論理も要る

代数閉体の存在性に選択公理が必要

二階述語論理

三回術後論理

>>1
砂上の楼閣

「可算集合の可算和は可算集合」は選択公理がないと証明できない。
測度論をやるときに困る

測度論まで行かなくても、何かしら点列を構成するとき、
あるいは点列から部分点列を取るとき、従属選択公理がないと取れないことがある

で、選択公理のたぐいを仮定するなら、もうZFCと大差ない

選択公理は集合論じゃん

>>12
>ZFCと大差ない
じゃあお前は数学やる時すべての概念∅から構成してろよｗｗｗｗ

>>12
何をもって大差無いと言ってるのか分からん
証明の効率の点では、最初から集合や実数の概念を認めるのと、ZFCまで遡るのとでは雲泥の差
証明できる命題の量では、当たり前だが、いくつかの概念を認めた程度ではZFCに遠く及ばない

集合だけでなく真のクラスを扱えないと圏論ができない

>>14

とりあえず選択公理は必要(>>12)
空集合が扱えないと問題外なので、空集合の公理も必要
和集合とベキ集合が扱えないと問題外なので、和集合の公理とベキ集合の公理も必要
置換公理がないとロクな集合が作れないので、置換公理も必要
外延性公理がないと集合の等しさに関する議論が崩壊する(異なる表現方法で記述した本質的に同一の集合が
実際に等しいことが証明できなくなる)ので、外延性公理も必要
対の公理がないと {x,y} という2元からなる集合が扱えず問題外なので、対の公理も必要

無限公理の必要性は微妙だが、どのみち自然数がないと困るので、無限公理に近しい公理は必須
正則性公理は通常の数学では必要ないと思う

このように、実用上数学に必要な公理を並べてみたら、ZFCと大差ない
「じゃあお前は全て∅から構成してろよ」じゃないんだよ
実際に1つ1つの公理を精査したら「必要」なんだから。

>>15
＞証明の効率の点では、最初から集合や実数の概念を認めるのと、ZFCまで遡るのとでは雲泥の差

効率の観点から言えば、現時点で定理として認められている
全ての定理を公理として採用すれば、それらの定理の証明コストはゼロだよ

「そこまで大きな公理系ではなく、ある程度の無駄はそぎ落としたい」

ということなら、極限まで無駄をそぎ落としたものが ZFC もしくは ZF になるので、
無駄を許容した公理系でも「ZF＋余計な公理」という形にしかならない

つまり、どうやってもZFは必須で、これに>>12(選択公理)を加味すると
「ZFCまでは必須」となってしまう。まあ正則性公理あたりは微妙なので、
「ZFCから正則性公理を抜いたもの」あたりが回答ということになり、
結局ZFCと大差ないよねっていう

情念のマグマでモチーフをモチベーションづける

>>17
馬鹿かこいつ
必要なのは当たり前だろ

>>17-18
素直に「論点を理解できていませんでした」と非を認めればいいのに、自分を正当化するのに必死
幼稚な人

>>20-21
え？ZFCは前提なの？>>1を見ても そうは読めないけど。

＞ということは、ある程度の厳密性を犠牲にしても、
＞「これを認めれば実用上十分に数学ができる」という概念の集まりがあるはず

「ある程度の厳密性を犠牲にしても」と書いてあるよ。
いったんZFCを廃止して、代替となる公理系を作って、それさえあれば
実用上十分に数学ができるようにしたい(厳密性はとりあえず置いておく)
ってことじゃないの？

もしZFCが前提で、単に追加の公理がほしい(証明のショートカットをしたいから)
ということにすぎないなら、「ある程度の厳密性を犠牲にしても」という文言は不要だよね？
ZFCを前提とするなら厳密性は減らないんだから、何も犠牲にならないじゃん。
いったい何の厳密性を犠牲にすることになるの？
「犠牲にする」という文言がある時点で、ZFCを廃止するとしか読めないんだけど

>>18
>全ての定理を公理として採用すれば、それらの定理の証明コストはゼロだよ

これをこのスレに書いて何がしたいんだろう
問題意識を共有していないなら、わざわざ書き込まなければいいんじゃないだろうか

>>23
そのすぐ下に

＞「そこまで大きな公理系ではなく、ある程度の無駄はそぎ落としたい」
＞ということなら、

と書いてあって実際には問題意識を共有してるのに、なぜそこには触れないのだろうか？
他人の発言を捻じ曲げて何がしたいんだろうか？

ZFCと大差無い前提で実用的に数学ができるなら公理的集合論の教科書は3～4ページで済むわなｗ

多くの数学者は、別に公理的集合論や数理論理学の原理まで遡って数学をやっているわけではない
ということは、ある程度の厳密性を犠牲にしても、「これを認めれば実用上十分に数学ができる」という概念の集まりがあるはず
それは一体何なのか