つづき

本論文の目標は, 上で述べたGromovの問題と予想を解決することである. 本論文では初めにStein空間とdominating sprayについて簡単に復習し, それに続く論文の前半においてGromovの予想を肯定的に解決する. その証明では, 条件Ell1より見かけ上弱い新たな楕円性の変種である凸楕円性を考察し, それが岡性を特徴付けることを示す. その後Gromovの予想の解決を応用することで, 岡であるようなZariski開集合で被覆される複素多様体は岡多様体であるという局所化原理を確立する. この岡多様体の局所化原理によって新たな岡多様体の例がいくつか与えられるが, Gromovの問題に否定的な解答を与える非楕円的な岡多様体の例もそのうちの一つであり, その証明は論文の後半で与えられる. 最後の節では, 以上の結果の一般化や改良を与える最近の研究を紹介する. 具体的には凸楕円性による岡性の特徴付けの相対版や, Gromovの問題に対するさらなる反例などについて述べる.

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北大代数解析セミナー: Toward Gromov's Oka principle with ...
北海道大学 理学部
2025/01/27 —日下部 佑太氏
Abstract :
岡潔がCousinの第二問題を解決した際に発見した岡の原理は、ホモトピー原理の観点からGromovによって著しく一般化された。Gromovの岡の原理は、楕円性と呼ばれる性質を持つ複素多様体への正則写像に関する拡張や近似の問題について、定義域がStein多様体ならば連続解を正則解にホモトピーで変形できることを主張する。代数多様体の圏においても代数的楕円性が定義され、同様に代数的な岡の原理の成立が期待されるが、アファイン代数多様体から代数的楕円性を持つ代数多様体への連続写像は代数的な正則写像にホモトピックとは限らず、また代数的な拡張定理も一般には成り立たない。一方でGriffithsが1972年に至った考えによると、位数有限正則写像と呼ばれる増大度条件付きの正則写像まで射のクラスを広げることで「代数多様体の圏の函数論的な閉包」が得られ、その範囲ではGromovの岡の原理が成り立つと期待される。本講演では、複素多様体の圏及び代数多様体の圏における楕円性と岡の原理について両圏を対比しながら復習し、射のクラスを位数有限正則写像に広げることで実際に様々な函数論的問題を解決できることを見る。

https://kusakabe.github.io/
日下部 佑太
Miscellaneous
https://kusakabe.github.io/pdf/kansuron_ellipticity.pdf
第62回函数論シンポジウム講演アブストラクト, 2019
岡の原理と楕円性 日下部佑太(大阪大学)
(引用終り)
以上