>>476
>一階の理論PAで数学的帰納法は成り立つ。

うむ （＾＾
知っている。下記の公理図式 即ち『単一の公理ではなく、一階の言語で表現できる任意の論理式 \(P(x)\) に対して、「もし \(P(0)\) が真であり、かつ全ての自然数 \(k\) について \(P(k)\) ならば \(P(k+1)\) が真であるならば、全ての自然数 \(n\) について \(P(n)\) が真である」という形の無限個の公理群を指します [2, 3]』
だね
だが、2階でやれば 簡単だべｗ

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一階の理論PAで数学的帰納法は成り立つ
AI による概要
はい、一階の理論PA（ペアノ算術）において数学的帰納法は成り立ちます [1]。 正確に言うと、PAの公理系には数学的帰納法の図式（Axiom Schema of Induction）が含まれています [1, 2]。これは単一の公理ではなく、一階の言語で表現できる任意の論理式 \(P(x)\) に対して、「もし \(P(0)\) が真であり、かつ全ての自然数 \(k\) について \(P(k)\) ならば \(P(k+1)\) が真であるならば、全ての自然数 \(n\) について \(P(n)\) が真である」という形の無限個の公理群を指します [2, 3]。 
したがって、PAの体系内で形式的に証明可能な命題については、この帰納法の図式を用いて証明を行うことができます
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＜検索結果＞
不完全性定理の数学的発展 倉 橋 太 志
J-Stage
https://www.jstage.jst.go.jp › sugaku › _pdf › -char
倉橋太志 著 · 2021 · 被引用数: 1 — 1 はじめに. Gödel が不完全性定理を発表してからおよそ 90 年が経過しようとしている．不完全性定理には，十. 分な算術を含む Σ1-健全かつ計算可能な理論は不完全であ

Gentzen から始まる証明論の50年 - - 順序数解析を中心として
Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp › contents › pdf
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数学的帰納法は PA を含む論理式に拡張される. 先ず PA に関する公理として,. A(PA) PA, これは Vy[A(PA,y) → PA (y)] の ...
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理論の不完全性，決定不能性
Kobe University
http://www2.kobe-u.ac.jp › LWS2 › LWS2
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2023/12/29 — Gödel–Rosser の第 1 不完全性定理は「十分な算術 T を含む無矛盾な RE 理論は不完全」とい. う主張であるが，このような条件を満たす理論 T は本質的不完全であるといわれる．理論の本質. 的不完全性は決定不能性や分離不能性の概念と密接に関わっており，こうした話題に関する研究. が 1950 年代から 1960 年代にかけて盛ん ...
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ゲンツェンの論理学 : 基本定理と無矛盾性 証明
法政大学 学術機関リポジトリ
https://hosei.ecats-library.jp › 12_phi_6_ando_re
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LK に自然数に関する原子論理式からなる公理（始. シーケント）および数学的帰納法の推論規則を加えて得られる第一階算術の体. 系 PA は無矛盾である。すなわち、この算術体系において、→ の前後ともに空. であるようなシーケントを終式にもつ証明図は存在しない。
15 ページ