>>489のつづき

二階論理の意味論
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86#%E6%84%8F%E5%91%B3%E8%AB%96

二階述語論理の意味論は、個々の文の意味を確立するものである。
一階述語論理では単一の標準の意味論しかなかったが、
二階述語論理では2種類の意味論 standard semantics と Henkin semantics がある。
どちらの意味論でも、一階述語論理の範囲内の意味論（一階の量化、論理和や論理積など）は一階述語論理と同じである。
異なるのは、二階の変項への量化の解釈である。

standard semantics では、その種の集合や関数すべてに対しての量化と捉える。
従って、一階の変項のドメインが明確化されれば、全ての量化の意味が固定される。
これにより、二階述語論理の表現能力がもたらされる。

Henkin semantics では、二階の変項にはそれぞれの種ごとにドメインがあり、その種の集合や関数全体の真部分集合の場合がある。
ヘンキン(1950) がこの意味論を定義し、一階述語論理で成り立つゲーデルの完全性定理とコンパクト性定理が、
Henkin semantics と組み合わせた二階述語論理でも成り立つことを証明した。
Henkin semantics が多種の一階述語論理とほぼ等価であるためである。
Henkin semantics を伴った二階述語論理は、一階述語論理と同等の表現能力しかない。
Henkin semantics は主に二階算術の研究で使われている。