∈は集合論の述語です

内包公理を前提とすると、
任意の述語Pについて
y∈{x|P(x)}⇔P(y)
となる集合{x|P(y)}が存在します

したがって
y∈{x|x∈x⇒P}⇔(y∈y⇒P)
を満たすことになります

ここでyとして{x|x∈x⇒P}をとると
{x|x∈x⇒P}∈{x|x∈x⇒P}⇔({x|x∈x⇒P}∈{x|x∈x⇒P}⇒P)

{x|x∈x⇒P}∈{x|x∈x⇒P}⇒({x|x∈x⇒P}∈{x|x∈x⇒P}⇒P)　なので　縮約により
{x|x∈x⇒P}∈{x|x∈x⇒P}⇒P　（★）

また（★）と
({x|x∈x⇒P}∈{x|x∈x⇒P}⇒P)⇒{x|x∈x⇒P}∈{x|x∈x⇒P}　より
{x|x∈x⇒P}∈{x|x∈x⇒P}　（☆）

（☆）と（★）から　P

（したがって背理法により内包公理は偽）

また自然数論でも、任意の論理式Xについて
Ｘ⇔Truth('X')　（’X’はXのゲーデル数）
という述語Truthが存在するとすると
対角化定理によって、任意の論理式Pについて
Y⇔(Truth(’Y’)⇒P)
という論理式Yが具体的に構成できるので
述語Truthの性質
Y⇔(Truth('Y'))　から
Y⇔(Y⇒P)　が導けて
Y⇒(Y⇒P)　から　Y⇒P（★）
(Y⇒P)⇒Y　と（★）から　Y　（☆）
（★）と（☆）から　P
が導けます

（したがって背理法によりＸ⇔Truth('X')の存在も偽）