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>アーベル圏は（よい性質を持つ）圏の特別なもの

ホイヨ
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アーベル圏とは どんなもの？
<AI による概要>
アーベル圏とは、アーベル群の圏（アーベル群とその間の準同型からなる圏）が持つような、「良い」性質を抽象化した圏のことで、核（Kernel）や余核（Cokernel）が存在し、完全系列（Exact Sequence）が定義できることが最大の特徴です。ホモロジー代数や層論を展開するための基礎となり、アーベル群の圏, 環上の加群の圏, 層の圏などがその具体例です。 
アーベル圏の主な特徴と役割 
・ホモロジー代数の舞台: 5項補題や蛇の補題といったホモロジー代数に必須の道具が使える圏です。
・核と余核: 任意の射（写像）に対して核（Kernel）と余核（Cokernel）が存在し、これらを使って完全系列（例：\(0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0\)）が定義できます。
・加法性: 射の合成や和（加法）がうまく定義されており、アーベル群の構造を抽象化しています。
・埋め込み: 小さいアーベル圏は、アーベル群の圏に埋め込むことができる（ミッチェルの埋め込み定理 ja.wikipedia.org 

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%9C%8F
アーベル圏（アーベルけん、英: abelian category[注 1]）とは（コ）チェイン複体のホモロジー/コホモロジーと層のコホモロジーの双方を展開するのに十分な構造を備えた圏である。

アーベル圏となる圏の具体例としてはアーベル群の圏や環上の加群の圏、アーベル圏上の（コ）チェイン複体の圏、およびアーベル圏に値を取る前層や層の圏が挙げられる。

アーベル圏の著しい性質として加法圏になる事、すなわちアーベル圏の対象間の射のクラス
{\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}がアーベル群になる（事に加え、いくつかのよい性質を満たす）事が挙げられる。

アーベル圏が小さい圏であればアーベル圏は加群の圏に埋め込める（ミッチェルの埋め込み定理）。よって特に加群の圏で成立する事実、例えば5項補題や蛇の補題のようにホモロジー代数を展開する上で必須となる補題を満たす。

マックレーン[1]はグロタンディークが1958年の論文[2]でアーベル圏を定義したとするが、別の文献[3]によれば、アイレンベルグの弟子の[3][4]デイビット・バックズバウム[訳語疑問点]が1955年の博士論文[5]で「exact category」の名称でこの概念を提案し、これを知ったグロタンディークが「アーベル圏」という名前でこの概念を広めた。

出典
2^ Grothendieck (1957)
Grothendieck, Alexander (1957), “Sur quelques points d'algèbre homologique”, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series 9: 119–221, ISSN 0040-8735, MR0102537