つづき

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自然数 - Mathpedia
2021/05/01 — ... Nの元と対応しないようなものについてこれを超準自然数ということがある。 0 は自然数か？ 自然数の集合の定義には 0 を自然数に含む流儀と 0 を自然数に含まない流儀がある。 この節ではその ...

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レーヴェンハイム–スコーレムの定理（英: Löwenheim–Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる

https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl
Natürliche Zahl 独語
(google訳)
公理化
リヒャルト・デデキントは1888年に初めて公理によって自然数を暗黙的に定義しました。[ 2 ]ジュゼッペ・ペアノは1889年に独立して、より単純でありながら形式的に正確な公理系を定式化しました。 [ 4 ] [ 5 ]これらのいわゆるペアノ公理系は標準となっています。元の公理系は二階述語論理で形式化できますが、より弱い一階述語論理であるペアノ算術が今日ではよく使用されています。[ 6 ]ペアノ算術に関連する自然数の他の公理化には、ロビンソン算術や原始再帰算術などがあります。

ペアノ公理は自然数の定義としても解釈できます。自然数の集合は、ペアノ公理を満たす集合です。重要なのは、そのような集合が無限に存在することです。しかし、これらの集合はそれぞれ全く同じ振る舞いをします。要素のラベルが異なるだけです。数学では、これらの集合は同型であると言われています。この結果はデデキントの一意性定理としても知られています。厳密に言えば、そのような集合は無限に存在するにもかかわらず、この定理から「自然数」という用語が慣習的に用いられるようになりました。

https://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_naturel
Entier naturel 仏語
(google訳)
ペアノの公理学
自然数がどのように導入されたかに関わらず、それらは算術の発展の基盤となる同じ基本的な性質を持つ。リヒャルト・デデキントとジュゼッペ・ペアノは、本質的に等価な独立した公理化を提案した[ 23 ] 。これらは、今日では第二階公理化と呼ばれることもある。すなわち、集合（または述語）の概念は既知であると仮定され、公理化では考慮されない。以下は、これらの公理（ペアノの公理として知られる）の現代的な表現である[ 24 ]
(引用終り)
以上