【紅茶数学部】1の原始11乗根(exp(2iπ/11))の厳密解(根号による表記)の一つらしい。【画像有】

うむ
https://i.imgur.com/A5fxIeH.png

💩

ウン紅茶いかがですか〜？
💩☕

数の冪根を使って表していいのなら、
「1＾｛1/11}」で表される11個の
冪根のうちで、実数1以外のもの、
が答えではなぜいけないのか。
三次方程式の冪根解法で、複素数の
立方根が出てくる場合があるが、
そこで無邪気に複素数の立方根を
（数)^{1/3} として使えるのなら、
その問題でも同様に1の11乗根として
｛1｝^{1/11}（ただし1ではない）を
使えばいいのじゃ無い？

11-1=10=2x5より1の11乗根を平方棍と５乗根を使って書く問題
ガウスの正17角形の作図問題（平方根だけ）解決と同様な問題

ウン紅茶、売り切れました💩

>>4
一般にxのn乗根はn個あるが、根号記号(radical　simbol)はそのうちの主値を示す。

主値
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4

>>4
一般にxのn乗根はn個あるが、根号記号(radical symbol)はそのうちの主値を示す。

主値
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%80%A4

また主根とも

だいたいx^2+1=0の複素数解は、+i,-iの二つあるが、
複素数は大小関係が無いので、どちらが+iか-iなのか、どうやって区別しているのかという問題だな。
便利だからという理由で片方が、+ｉであるあらば-iと決めたのです。

ウン紅茶、再入荷しました。
💩☕

これは（複素）解析の問題ではなくて、
代数の問題なのだから、元の体からみて
区別のつかない10個の解は、どれが主値
だなどという区別はない。
10個のうちのどれか1つ（どれという特定や
区別は代数的な立場からはできない）を
ρとすれば、10個のそれぞれは
ρの1乗、2乗、。。。、10乗と表せる。
どの10個も冪乗していくとき11乗目に
至って初めて1になるという意味で、
どれも平等に1の原始11乗根である。
実部がどうだ虚部がどうだというのは、
元の方程式の係数がZとかQであるとき
代数拡大体を複素数体に埋め込んで
考えていることになる。

💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩💩

ウーン、区別がつかないなぁ

円分体は面白い

2-2

1の原始17乗根は1^{1/17}ただし1ではない、
とかけるが、それを17乗根の開冪を使わずに
有理数から開始して平方根を開く操作だけで
表せる数であることを示したところが、
非自明であり素晴らしいのだろう。

代数方程式の根は係数から定まる代数的な数だけれども、
そのモデルは複素数を係数とする多項式の零点として
複素数体Ｃの中に必ず存在するというのが、ガウスの
代数学の基本定理というものだそうだ。
任意の代数的な方程式の根はＣに（解析的な意味で）
含まれてしまう。任意の代数拡大体はＣに
含まれるといっても良い。

　最初に有理数体Ｑしか考えない世界であっても、
Ｑ上の代数方程式は存在し、その根としての
代数的元を考えることでＱを代数的に拡張できる。
連続の公理などを必要とするＲやＣの存在を
仮定する必要はない。

RCサクセション

ロンネフェルト

\displaystyle

\exp{{\left(\frac{{{2}{i}\pi}}{{11}}\right)}}= \cos{{\left(\frac{{{2}\pi}}{{11}}\right)}}+{i} \sin{{\left(\frac{{{2}\pi}}{{11}}\right)}}=

-\frac{1}{{10}}+\frac{1}{{40}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}+{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}+{25}\sqrt{{{5}}}+{\left({45}

\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}-{5}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}+\frac{1}{{40}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}+{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac

{11}{{4}}{\left({89}-{25}\sqrt{{{5}}}+{\left({45}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}+{5}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}+\frac{1}{{40}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}-{i}\sqrt{{{10}+

{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}+{25}\sqrt{{{5}}}-{\left({45}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}-{5}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}+\frac{1}

{{40}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}-{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}-{25}\sqrt{{{5}}}-{\left({45}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}+{5}\sqrt{{{5}-

{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}

+\frac{i}{{10}}\surd{\left({55}-{5}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}+{25}\sqrt{{{5}}}+{\left({45}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}-{5}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}-\frac{5}{{4}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}-{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}-{25}\sqrt{{{5}}}+{\left({45}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}+{5}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}-{5}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}+{25}\sqrt{{{5}}}-{\left({45}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}-{5}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}-\frac{5}{{4}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}+{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}-{25}\sqrt{{{5}}}-{\left({45}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}+{5}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}\right)}

exp((2iπ)/11)=cos((2π)/11)+isin((2π)/11)=

-1/10
+1/40(-1+sqrt(5)+isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89+25sqrt(5)+(45sqrt(5-2sqrt(5))-5sqrt(5+2sqrt(5)))i))
+1/40(-1+sqrt(5)+isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89-25sqrt(5)+(45sqrt(5+2sqrt(5))+5sqrt(5-2sqrt(5)))i))
+1/40(-1+sqrt(5)-isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89+25sqrt(5)-(45sqrt(5-2sqrt(5))-5sqrt(5+2sqrt(5)))i))
+1/40(-1+sqrt(5)-isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89-25sqrt(5)-(45sqrt(5+2sqrt(5))+5sqrt(5-2sqrt(5)))i))

+i/10sqrt(55
-5root(5)(-11/4(89+25sqrt(5)+(45sqrt(5-2sqrt(5))-5sqrt(5+2sqrt(5)))i))
-5/4(-1+sqrt(5)-isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89-25sqrt(5)+(45sqrt(5+2sqrt(5))+5sqrt(5-2sqrt(5)))i))
-5root(5)(-11/4(89+25sqrt(5)-(45sqrt(5-2sqrt(5))-5sqrt(5+2sqrt(5)))i))
-5/4(-1+sqrt(5)+isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89-25sqrt(5)-(45sqrt(5+2sqrt(5))+5sqrt(5-2sqrt(5)))i)))

exp(2iπ/11)=cos(2π/11)+isin(2π/11)=

-1/10+1/40(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89+25√5+(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5+(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89+25√5-(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5-(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)

+i/10√(55-5(-11/4(89+25√5+(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
-5/4(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5+(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
-5(-11/4(89+25√5-(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
-5/4(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5-(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5))

別の表記
cos(2π/11)=
-1/10
+(√11/5)sin(arcsin((-1+√5)/4)+(1/5)arccos(-(89-25√5)/(44√11)))
+(√11/5)sin(arcsin((-1+√5)/4)+(1/5)arccos(-(89+25√5)/(44√11)))

sin(2π/11)=
√11/10
+(√11/5)cos((1/5)arccos((109-25√5)/484))
-(√11/5)cos(arccos((1+√5)/4)+(1/5)arccos((109+25√5)/484))

補足
cos(2π/11), sin(2π/11)/√11はそれぞれ5次方程式
1+6x-12x^2-32x^3+16x^4+32x^5=0,
1-22x+132x^2-1936x^4+3872x^5=0
の解で、これは解ける5次方程式で
>>1
はその解の表記の1つ
>>24
は加法定理を使った解の表記の1つ

Wikipediaの「十一角形」の項にも載っているが
ソースが個人のブログなので信憑性がない

検算もやる気が起きない

Mathematicaで検算

In[1]:=
MinimalPolynomial[Cos[2Pi/11], x]
Out[1]=
1 + 6 x - 12 x^2 - 32 x^3 + 16 x^4 + 32 x^5

In[2]:=
MinimalPolynomial[-1/10
+1/40(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89+25√5+(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5+(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89+25√5-(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5-(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
/.i->I, x]
Out[2]=
1 + 6 x - 12 x^2 - 32 x^3 + 16 x^4 + 32 x^5

最小多項式は一致

>>26
AIによるとWikipediaの正11角形における根号表記のソースは
Lagrange resolvent という古い解法によるものらしい

----以下検証のまとめ
5次方程式
1 + 6 x - 12 x^2 - 32 x^3 + 16 x^4 + 32 x^5 = 0
の5つの解を x_k = cos(2πk/11) (k=1,2,3,4,5)の順に置き
1の原始5乗根を ζ=exp(2πi/5)として Lagrange resolvent を構成する
R_k = x_1 + x_3 ζ^k + x_2 ζ^(2k) + x_5 ζ^(3k) + x_4 ζ^(4k) (k=1,2,3,4)

この{R_k|k=1,2,3,4}は方程式
25937424601 + 5045405728 x^5 + 478393344 x^10 + 32079872 x^15 + 1048576 x^20 = 0
を満たすことが単純な計算で確認できて、これを4次方程式の解の公式で解いて
(1/2) ζ^σ ((11/4)(-89+25√5τ-5√(2(205+89√5τ))σi))^(1/5) (σ,τ∈{-1,1})
のように表される

そしてx_1 = (1/5)(R_0 + ΣR_k)を計算して
x_1 = -1/10 + (1/10)Σ[σ,τ∈{-1,1}] ζ^σ ((11/4)(-89+25√5τ-5√(2(205+89√5τ))σi))^(1/5)
が得られる
----

他のWikipediaの正多角形における根号表記もLagrange resolvent から得られるようです

似た問題を出題スレで出しましたよ。

べき根表示って、ともかくガリガリ計算することに満足してるひとがいるけど
もっと根本的な問題に関心が向かないのは不思議。実際には表示が一意的ではない。
見た目異なるのに、実は同じ根であるというのが山ほどある。
これを解消しないと、数学としてあまり「質の高い表現」とは言えないのでは。

分母を正規化するか
cos部とisin部を分けるか
対称性が分かる表示にするか
もっとも文字数がすくないコンパクトな表示にするか

MathematicaのFullSimplifyでは最小多項式による表記でほぼ統一している
しかし次数が大きくなると指数関数的に遅くなり
1024次を超えたあたりで突然使えなくなるという欠点がある

代数的数を一意に表す標準化にはどのようなものがあるか。
つまり任意に与えた代数的数に対して、それを標準化して標準形にできるのなら、
2つの代数的数の異同が標準形の異同として判定できるので便利だろう。
その際に、実数や複素数の値や実数の大小比較を用いずに行うことができるか？

与えられた代数的数ｘに対してｘのQ上の最小多項式Ｐを作る。つまりQ係数のＰはｘを根とするQ上で既約な多項式であって
その次数が最小となるものである。Ｐが２次以上であればＰはｘとそれに共役な根を持ち、その個数はＰの次数ｎに等しい。
Qの上で考えているだけだと、それらｎ個の根は「代数的」には区別できない。
いまαとβという２つの代数的数があってそれらのQ上の最小多項式が異なるならば、αとβは異なる。
それらのQ上の最小多項式が一致するときにはどうすれば良いか。

任意に代数的数を与えたときに、その最小多項式を構成する算法があるのならば、
代数的数γ=α―βの最小多項式を構成してそれが１次式ｘであるかを判定する
という問題になるわけだが。

>>30
実は数値解のほうが有用という皮肉

Q上既約な代数方程式の根は分離的であるが、それらの相異なる根の間の最小距離の下界を方程式の係数から与えることができるので、
その下界よりも精密に（一般には複素の）近似根を出してやれば、根の間の区別をそれらの近似根によって数値的に行うことができる。

>>35
数値を知りたいだけならね。数値というのは複素平面における位置情報
と言える。しかし、当然ながらべき根表示から数論的情報が得られる
場合もあるわけで、その場合は何を引き出したいのかということを
自覚しておく必要がある。

冪根で表される代数拡大ばかり考えるのはあまりにも範囲が狭すぎる。

1の7乗根、11乗根、13乗根、19乗根、23乗根、29乗根、31乗根、
37乗根、41乗根、43乗根、47乗根、53乗根、59乗根、61乗根、
67乗根、71乗根、73乗根、79乗根、83乗根、89乗根、91乗根、97乗根
ぐらいまでを全部冪根で表してみたらええ。

91乗根？

すまん91＝7ｘ13だったな。

グロタンディーク素数

それは57

のような状況