局所環って何が局所なの？

代数閉体上では極大イデアルは点と対応するからな

太極拳

💩の意味

💩スレの意味

これはおそらく💩スレではないから、真面目に答えよう。

http://yuyamatsumoto.com/ed/kanron.pdf
ここに答えらしきものが書いてある。
ちなみに、私には何を言われているのかイミフである💩

>>2
pdfと言っていることが一致しているのか、私には分からないから誰か判断してくれ。

商環と局所化は「可換代数」における最も重要な道具。これは「代数幾何学」において1つの開集合または1つの点の近くに注意を集中させることに対応する。

整数環ℤから有理数体ℚを作る。この時ℤはℚに埋め込まれる
これは整域Aからその商体への作り方に拡張する
a, s∈A、s≠0とする。同値関係を次のように定義する。
順序対(a, s)≡(b, t) ⇔ at-bs=0

これを一般化する。
Aを任意の環とする。Aの乗法半群の部分半群をSとする。Sは積閉集合と言う
A×S上に次の同値関係を定義する
(a, s)≡(b, t) ⇔ ∃u∈S: (at-bs)u=0
これが同値関係になることは簡単に示される。
a/sにより同値類(a, s)∈S⁻¹Aを表す
左局所化S⁻¹A、右局所化AS⁻¹
環S⁻¹AをSに関するAの商環と言う
環準同型写像f: A→S⁻¹A、f(x)=x/1は単射とは限らない。
環準同型写像g: A→B、∀s∈S: g(s)はBの単元とする。環準同型写像h: S⁻¹A→Bでg=h◦fを満たすものが唯一つ存在するという普遍的な性質がある。

s∈S⇒f(s)はS⁻¹Aの単元
f(a)=0⇒∃s∈S: as=0となる
∀元∈S⁻¹Aは∃a∈A, ∃s∈S: f(a)f(s)⁻¹と表される
これらにより環S⁻¹Aは同型を除いて一意に定まる。

局所環Aₚ
𝔭をAの素イデアルとする
この時、A-𝔭は積閉集合となる。
S⁻¹A=Aₚと書く。a∈𝔭としてa/sの形の全ての元の集合はAₚにおけるイデアルmを作る。
b/t∉m⇒b∉𝔭よりb∈S、b/tはAₚの単元となる。よってAₚは局所環である。
例 A=ℤ、𝔭=(p)とする
例 代数幾何学における局所環
kを体、A=k[t₁, …, tₙ]、Aₚは全ての有理関数f/g、g∉𝔭、の作る環。
𝔭によって定義される多様体をVとする。Aₚは多様体Vに沿うkⁿの局所環

https://youtu.be/2UjYmV6BaOs?si=u_UmuaJsStUzKhvd

複素解析の解析接続のように、局所での表現を近傍の局所に接続できるのだろうか？

>>11
層係数コホモロジー使った議論は全部それ

局所環は一般化された概念。
一般化する前の概念は素イデアルpを用いた局所化(A-p)^-1 A。
これを考える理由を遡ると代数幾何にもとがある。
ざっくり言えば、「ある多項式だけに集中して考えたいから、その他の多項式は割り算ができるようにして消してしまえ」という考え方。

>>6
>http://yuyamatsumoto.com/ed/kanron.pdf
>ここに答えらしきものが書いてある。
>ちなみに、私には何を言われているのかイミフである💩

良い文献だね
要点抜粋下記な

http://yuyamatsumoto.com/
松本雄也
http://yuyamatsumoto.com/ed.html
http://yuyamatsumoto.com/ed/kanron.pdf
環論入門コース
環論講義ノート松本雄也(matsumoto.yuya) 2023年03月05日
P45
10 素イデアルと極大イデアル
P46
余談 10.9. Aの素イデアル全体の集合をAのスペクトル(spectrum) とよび，SpecAと書く．またAの極大イデアル全体の集合をAの極大スペクトル(maximal spectrum) とよび，SpecmAなどと書く．命題10.7より，環準同型φ:A→Bは写像φ−1: SpecB →SpecAを誘導する（SpecmBの像は一般にSpecmAに含まれない）．（現代的な）代数幾何学の第一歩は，この集合SpecAにザリスキ位相(Zariski topology) という位相を入れて位相空間にし，φ−1が連続写像であることを示し（問題10.9参照），さらにSpecAに環の層を乗せて局所環付き空間であることを示し，φ−1が局所環付き空間の射であることを示し，環の圏から局所環付き空間の圏への関手Specが忠実充満であることを示すことである．SpecAの形の空間（これをアフィンスキーム(affine scheme) という）が代数幾何学の基本的な空間である．

P50
11.2 環の積閉集合と局所化

P54
11.4 何が局所なのか[※範囲外]
X を実C∞多様体または複素正則多様体，x∈Xを点，A=O(X)をX上の実C∞関数または複素正則関数全体がなす環とする．p⊂Aをxを零点にもつ関数全体がなすイデアルとすると，A/pはRまたはCに同型なのでpは極大イデアルである．積閉集合A\pの元はxの近傍で可逆なので，Apは，xのある近傍で定義されているC∞関数または正則関数全体ということになる．またf ∈Aに対しAf は，fの零点集合の補集合（開集合）上の関数全体となる．
X = SpecAとしAをX上の関数の環とみなした場合も同様にApはp∈SpecAの近傍で定義されている関数全体の環と思える（ただしA/pは一般には整域でしかない）．Af なども同様である．このように関数の定義域が狭まっていることが局所化の名前の由来である．たぶん．

P67
B.2 形式冪級数環と収束冪級数環
本小節では環は可換とする．
B.2.1 形式冪級数環

B.2.2 収束冪級数環
これらの環の元に有限個の負冪の項を加えた級数からなる環も考えられる（形式ローラン級数の場合と同様に，1元zによる局所化でもある）．

つづく

つづき

http://yuyamatsumoto.com/ed/alggeom1.pdf
代数幾何入門コース [2021/01/26] 138 pages
P6
1.2 導入2：なぜスキームを考えるのか
前半の数回の目標は，代数幾何で扱う図形であるスキーム(scheme)の概念を導入することです．スキームとは，アフィンスキーム(affine scheme) を張り合わせたものです．アフィンスキームとは，環Aに対しその素イデアル全体の集合SpecA，に位相（Zariski位相）を導入した位相空間，に正則関数のなす層を乗せたもの*3です．しかし，なぜこのような空間を考察対象とするのでしょうか？もう少し素朴な対象として，古典的な意味での代数多様体がありますので，まずこれを見てみましょう．代数幾何に限らず多様体論・複素多様体論・複素解析などに登場する基本的な図形としてCn（Cは複素数体）があります．また，Cnの開集合や閉集合も基本的な対象です．閉集合のうち，関数f1,...,fmに対する共通零点の集合{x=(x1,...,xn) ∈ Cn | f1(z) = ··· = fm(z) = 0}を考えてみましょう．ここでf1,...,fmとしてどのような関数を許容するかで話が大きく変わります（連続？C∞？複素正則？）．f1,...,fmとしてx1,...,xn の多項式のみを許容したときに現れるのが代数多様体です．例えば{(x,y)∈C2 |y2 =x3+x2}といったものです．このような図形を代数的な言葉で捉えるにはどうすればいいでしょうか．
略

ただ，ここまでの説明では極大イデアルの集合を考えるのがよさそうという根拠にはなるものの，一方でスキームは素イデアルの集合という話でした．（極大イデアルは素イデアルですが逆は成り立ちません．）なぜ極大イデアルだけではなく素イデアルを考えた方が都合がよいかというと，一つの大きな理由は，環の射に対して素イデアルの集合は関手的にふるまうことです．すなわち，環準同型f:A→Bに対して，Bの素イデアルのf による引き戻しはAの素イデアルになるので，ここから写像f∗: SpecB →SpecAが誘導されます．（一方，極大イデアルの集合に対してはこの性質は一般に成り立ちません*5．）しかもZariski位相に関して連続写像になり，さらには環付き空間の射になります．

P10
2.2 環のスペクトルとその位相
定義 2.17 (スペクトル). 環 A に対し，その素イデアル全体の集合をSpecA で表し，Aのスペクトル(spectrum) とよぶ．余談 2.18. ところでなぜ「スペクトル」という名前なのでしょうか？聞くところによると，関数解析において有界作用素T に対し集合{λ∈C|T −λは可逆でない}をT のスペクトルというらしく，これの類似だそうです．
定義 2.19 (スペクトルの位相).
略
(引用終り)
以上

松本雄也先生
良い文献です
要点抜粋下記な

http://yuyamatsumoto.com/
松本雄也
http://yuyamatsumoto.com/ed.html
http://yuyamatsumoto.com/ed/localization.pdf
不定元を用いる環の局所化の構成 [2025/12/20] 松本雄也
分数を用いた構成より分かりやすい（？）

本稿では環は単位的かつ可換とする．
環の局所化について，積閉集合Sを決めてSの元を分母にもつ分数（順序対の同値類）の集合に演算を定める方法がよく知られているが，演算のwell-defined性の証明等が少し面倒である．本稿ではSの各元の形式的な逆元を添加する方針の構成を与える．
1 動機
環Aをその部分集合Sで局所化したい．よくある構成は分数（A×Sの元の同値類）を使うものだが，同値関係の定義（および同値関係になることの確認）や演算のwell-defined性の確認はそこそこ面倒である．
面倒になる原因としては，
• 局所化の元が分数で表せる（すなわちAの元にSの元の逆元をかけた形で表せる）ことを前提としているので，その範囲で演算を記述しないといけないこと，
• 分数（A×Sの元の同値類）の集合として局所化を表そうとするので，分数の間の相等関係を（つまりA×S上の同値関係を）確定させないといけないこと，が挙げられると思う．
以下略

松本雄也先生
追加

http://yuyamatsumoto.com/
松本雄也
http://yuyamatsumoto.com/ed.html
http://yuyamatsumoto.com/ed/localization.pdf
不定元を用いる環の局所化の構成 [2025/12/20] 松本雄也
分数を用いた構成より分かりやすい（？）

本稿では環は単位的かつ可換とする．
環の局所化について，積閉集合Sを決めてSの元を分母にもつ分数（順序対の同値類）の集合に演算を定める方法がよく知られているが，演算のwell-defined性の証明等が少し面倒である．本稿ではSの各元の形式的な逆元を添加する方針の構成を与える．

1 動機
環Aをその部分集合Sで局所化したい．よくある構成は分数（A×Sの元の同値類）を使うものだが，同値関係の定義（および同値関係になることの確認）や演算のwell-defined性の確認はそこそこ面倒である．
面倒になる原因としては，
• 局所化の元が分数で表せる（すなわちAの元にSの元の逆元をかけた形で表せる）ことを前提としているので，その範囲で演算を記述しないといけないこと，
• 分数（A×Sの元の同値類）の集合として局所化を表そうとするので，分数の間の相等関係を（つまりA×S上の同値関係を）確定させないといけないこと，が挙げられると思う．
以下略

>>13
関連

https://en.wikipedia.org/wiki/Local_ring
Local ring
(google訳)
局所環の概念は、 1938年にヴォルフガング・クルルによってStellenringeという名前で導入されました。[ 1 ]英語のlocal ring という用語はザリスキによるものです。[ 2 ]
（ *)(google訳)Stellenringe→Positioning rings）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0
局所環（local ring）は、比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。
局所環は1938年にヴォルフガンク・クルルによって Stellenringe（ドイツ語）の名前で導入された[1]。局所環という呼び名はオスカー・ザリスキーによって提案された[注釈 1]。
定義
略
注釈
1. Lam (2002, p. 169) や 永田 (1984, p. 158) には局所環の名前は Chevalley (1943) によると書かれている。しかし Zariski (1943, p. 497) にWe propose the translation: “local rings.”と書かれており、また論文の受付日は Chevalley (1943) は1943年8月12日で Zariski (1943) は1942年9月1日である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Localization_(commutative_algebra)
Localization (commutative algebra)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E5%B1%80%E6%89%80%E5%8C%96
環の局所化
抽象代数学における環の局所化（localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)[注 1] は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 R の部分集合 S による局所化は S−1R で表され、あるいは S が素イデアル
p の補集合であるときには
Rp で表される。S−1R のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。

局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある[要検証 – ノート]。

用語について
「局所化」の名の起源は代数幾何学にある。R をある幾何学的対象（代数多様体）の上で定義された函数環とする。この多様体を点 p の近傍で「局所的に」調べようとするならば、p の近傍で 0 でないような函数全体の成す集合 S を考えることになる。その意味で、R を S に関して局所化して得られる環 S−1R は p の近傍における V の挙動についての情報のみをふくんでいる（局所環も参照）。

つづく

つづき

数論および代数的位相幾何学において、数 n「における」環や空間とか、n から「遠い」などという言及をすることがある。「n から遠い」("away from n") の意味は、「その環の中で n が可逆」（従って、Z[1/n]-代数になる）ということである。例えば、体については「素数 p から遠い」と言えば「その体の標数は p と異なる」という意味になる。Z[1/2] は「2 から遠い」が F2 や Z はそうではない。

形式的な構成
単元の積はふたたび単元であり、環準同型は積を保つことから、局所化に用いる S は R の乗法モノイドの部分モノイドであることが求められる。すなわち、S は 1 を含み、s, t が S の元ならば st もやはり S に含まれる。環 R のこのような性質を持つ部分集合を乗法的集合（乗法系）あるいは積閉集合（乗法的閉集合）と呼ぶ。

環 R が整域である場合には、局所化は容易に構成することができる。0 が単元となるような環は自明な環 {0} のみであるから、S に 0 が含まれるときには、局所化 S−1R は必ず {0} となる。それ以外の場合には、R の商体 K を利用することができる。すなわち、S−1R として、商体 K の部分環であって、R の元 r と S の元 s によって r/s の形に表される元全体になっているものをとればよい。この場合、自然写像 R → S−1R は標準的な埋め込みであり、特に単射になる（一般の場合にはこれは保証されない）。例えば、二進分数（英語版） の全体は、整数環 Z の 2 冪全体の成す積閉集合に関する局所化である。この場合 S−1R が二進小数の全体で R が整数全体、S は 2 冪の全体であって、R から S−1R への自然写像は単射である。

一般の可換環に対しては商体は存在しないのだけれども、それでも S の元を分母に持つような「分数」からなる局所化を構成することは可能である。整域の場合とは対照的に、分子と分母を安全に「約分」できるのは、S の元の寄与の分だけである。

この構成は以下のようにして得られる。まず、R × S 上の同値関係 ~ を
略す

つづく

つづき

環の局所化の普遍性
環準同型 j : R → S−1R は S の各元を S−1R の単元に写し、かつ f: R → T を別の環準同型で S の各元を T の単元に写すものとすれば、環準同型 g: S−1R → T で f = g ∘ j を満たすものがただ一つ存在する。
この普遍性を圏論の言葉で書けば次のようになる。環 R とその部分集合 S をとり、R 上の多元環 A で標準準同型 R → A のもと S の各元が A の単元となるようなもの全体の成す集合を考える。この集合の元を対象とし、R-線型写像を射として圏が定まり、この圏の始対象を R の S における局所化と呼ぶ。
略す

例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
・R = Z のとき、積閉集合 S = Z − {0} による局所化は S−1R = Q である。
・可換環 R が与えられたとき、R の非零因子（すなわち、R の元 a であって、a を掛けるという操作が R 上の単射自己準同型となるようなもの）全体の成す集合 S は積閉集合である。このときの環 S−1R は R の全商環と呼ばれ、しばしば Q(R) や K(R) などで表される。この S は R から S−1R への標準準同型が単射となるような積閉集合として最大のものである。さらに R が整域ならば、これは R の商体に他ならない。

応用
主に可換環論と代数幾何学において生じる以下の二つの局所化のクラスは、環のスペクトル Spec(R) のザリスキー位相に関する開集合上の函数環を構成するのに用いられる。
略

非可換の場合
非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 S の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つにオアの条件（英語版） がある。
略
注記
1. ここでいう「分数環」や「商環」は、「分数体」や「商体」と同様の語法であって、剰余環の別名としての「商環」(quotient ring) とは異なる。商体や全商環は本項にいう意味での商環の特別な場合になっている（例節を参照）
(引用終り)
以上

局所環と特異点論

>>18
（引用開始）
https://en.wikipedia.org/wiki/Local_ring
Local ring
(google訳)
局所環の概念は、 1938年にヴォルフガング・クルルによってStellenringeという名前で導入されました。[ 1 ]英語のlocal ring という用語はザリスキによるものです。[ 2 ]
（ *)(google訳)Stellenringe→Positioning rings）
(引用終り)

関連カ所
ザリスキ[ 2 ]
の文書
下記貼っておく

https://en.wikipedia.org/wiki/Local_ring
Local ring
The English term local ring is due to Zariski.[2]
Notes
2. Zariski, Oscar (May 1943). "Foundations of a General Theory of Birational Correspondences" (PDF). Trans. Amer. Math. Soc. 53 (3). American Mathematical Society: 490–542 [497]. doi:10.2307/1990215. JSTOR 1990215.
https://www.ams.org/journals/tran/1943-053-03/S0002-9947-1943-0008468-9/S0002-9947-1943-0008468-9.pdf

Ｐ497
following: the non-units in Op form an ideal(4).

(4) Chain theorem rings with the property that their non-units form an ideal have been
called by Krull "Slellenringen" (see Krull [3]). We propose the translation: "local rings." The
quotient ring of any irreducible subvariety of V is a local ring.

>>21
>局所環と特異点論

この一言居士は、御大っぽいかも（＾＾
ザリスキー >>20 は、広中先生の留学先で フィールズ賞受賞テーマが
代数多様体の特異点解消だった（下記）

さて お手軽検索（＾＾
(google検索)
局所環と特異点論との関係は？
AI による概要（出典つきだが略すので自分で検索して見るように）
局所環（唯一の極大イデアルを持つ環）と特異点論（代数多様体や関数の「尖った部分」や「滑らかでない点」を調べる数学の分野）は、「代数的図形の局所的な性質を、その点における局所環の代数構造によって完全に記述・分類する」という極めて密接な関係にあります
1. 特異点の代数的定義
代数幾何学において、多様体上の点が「滑らか（正則）」であるか「特異（尖っている・交差している）」であるかは、その点における局所環が正則局所環（regular local ring）になっているかどうかで定義されます。
・滑らかな点（非特異点）： 対応する局所環が正則局所環。
・特異点： 対応する局所環が正則局所環ではない。つまり、極大イデアルを生成する最小の元（埋め込み次元）が、局所環の次元（ Krull次元 ）よりも大きくなります。
2. 可換環論による特異点の分類
特異点論の多くは、局所環のホモロジー代数的な性質（深さや次元など）を用いて行われます
・コーエン・マコーレー（Cohen–Macaulay）局所環： 次元と深さが一致する良好な局所環で、整った特異点の解析に不可欠です。
・ゴレンシュタイン環・完全交叉環： 双対性などの強い性質を持ち、特定の綺麗な特異点（例えば、超曲面の特異点など）を特徴づけます。
・孤立特異点と加群： 局所環上の極大コーエン・マコーレー加群の振る舞いから、その環がどのような特異点を持つか（あるいは特異点解消の難しさ）が研究されます。
3. 特異点解消と優秀環
特異点解消の問題（ヒルパルトの第14問題やグロタンディークの研究）は、可換環論における「優秀環（excellent ring）」などの局所環の精密な性質と表裏一体の関係にあります。

もしよろしければ、次についてお知らせください：
・興味のある分野（代数幾何学寄りの話か、可換環論・ホモロジー代数寄りの話か）
・具体的に知りたい特異点の種類（2次元・3次元の特異点やクライン特異点など）
さらに踏み込んで解説できます。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%83%E4%B8%AD%E5%B9%B3%E7%A5%90
広中 平祐（廣中 平祐[1]、ひろなか へいすけ、1931年〈昭和6年〉4月9日 - 2026年〈令和8年〉3月18日[2]）
ハーバード大学ではオスカー・ザリスキに師事。同門下にデヴィッド・マンフォード（1974年フィールズ賞受賞）がおり、広中は後年「ランチを食べながらお互いに教え合い、刺激しあった」と語っている[14]。