つづき

環の局所化の普遍性
環準同型 j : R → S−1R は S の各元を S−1R の単元に写し、かつ f: R → T を別の環準同型で S の各元を T の単元に写すものとすれば、環準同型 g: S−1R → T で f = g ∘ j を満たすものがただ一つ存在する。
この普遍性を圏論の言葉で書けば次のようになる。環 R とその部分集合 S をとり、R 上の多元環 A で標準準同型 R → A のもと S の各元が A の単元となるようなもの全体の成す集合を考える。この集合の元を対象とし、R-線型写像を射として圏が定まり、この圏の始対象を R の S における局所化と呼ぶ。
略す

例
整数環を Z, 有理数体を Q と表す。
・R = Z のとき、積閉集合 S = Z − {0} による局所化は S−1R = Q である。
・可換環 R が与えられたとき、R の非零因子（すなわち、R の元 a であって、a を掛けるという操作が R 上の単射自己準同型となるようなもの）全体の成す集合 S は積閉集合である。このときの環 S−1R は R の全商環と呼ばれ、しばしば Q(R) や K(R) などで表される。この S は R から S−1R への標準準同型が単射となるような積閉集合として最大のものである。さらに R が整域ならば、これは R の商体に他ならない。

応用
主に可換環論と代数幾何学において生じる以下の二つの局所化のクラスは、環のスペクトル Spec(R) のザリスキー位相に関する開集合上の函数環を構成するのに用いられる。
略

非可換の場合
非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 S の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つにオアの条件（英語版） がある。
略
注記
1. ここでいう「分数環」や「商環」は、「分数体」や「商体」と同様の語法であって、剰余環の別名としての「商環」(quotient ring) とは異なる。商体や全商環は本項にいう意味での商環の特別な場合になっている（例節を参照）
(引用終り)
以上