【証明】
X内の任意の異なる2点x_1 ≠ x_2 をとる。
fは単射なので、f(x_1) ≠ f(x_2)である。
(Y,O_Y)はハウスドルフ空間なので、f(x_1),f(x_2)を分離する
開集合U_1, U_2 in O_Yが取れる: U_1 ∩ U_2=Φ。

これを引き戻すと、
f^{-1}(U_1 ∩ U_2)= f^{-1}(U_1) ∩ f^{-1}(U_2)=Φ、
fは連続なので f^{-1}(U_1), f^{-1}(U_2)は　x_1, x_2
を含むXの開集合である。
よって、x_1,x_2を分離する開集合が存在するので、(X,O_X)
もハウスドルフ空間となる。◾