A, BをA - pで局所化したものをA', B'とする。
A', B’とA'の極大イデアルに対して示せば十分。もし、そのような素イデアルq'⊂B'が取れれば、q = q'∩BとすればqはBの素イデアルで、q∩A = (q'∩A')∩A = pとなるから。

q'をB'の任意の極大イデアルとする。q'∩A' = p'を示す。
B/q'は体で、A'/(q'∩A')の整拡大なので、A'/(q'∩A')も体。
よって、q'∩A'⊂A'は極大イデアル。A'はp'を極大イデアルにもつ局所環なので、q'∩A' = p'。