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虚数乗法とは？
＜AI による概要＞
虚数乗法（きょすうじょうほう、Complex Multiplication）とは、楕円曲線などの代数的な構造において、通常の整数倍写像だけでなく、虚数（複素数）を掛けることによって定義される自己準同型写像を持つ、特殊な構造を指します。この概念は、特に複素数体上の楕円曲線において、その格子が虚数倍で保たれる対称性を持つ場合に適用され、類体論において重要な役割を果たします。
詳細な解説は以下の通りです。

1. 概念の定義
・通常の整数倍（準同型）: 楕円曲線上の点 \(P\) に対して、\(n\) 回足し合わせる写像 \([n]P=P+P+\dots +P\) (\(n\) は整数) は常に定義されます。
・虚数乗法: 整数 \(n\) だけでなく、特定の虚数を含む複素数 \(\alpha \) を掛けることによっても、同じ曲線上の点へ写像される（自己準同型になる）場合、その曲線は「虚数乗法を持つ」と言います。 

2. 数学的な背景
・楕円曲線と格子: 複素数体 \(\mathbb{C}\) 上の楕円曲線は、2つの基本周期 \(\omega _{1},\omega _{2}\) で張られる格子 \(\Lambda \) を用いて \(\mathbb{C}/\Lambda \) として表されます。

・虚数倍の対称性: 格子 \(\Lambda \) の中に、実数倍（スカラー倍）だけでなく、\(\alpha \Lambda \subseteq \Lambda \) となるような虚数 \(\alpha \) が存在する場合、その格子は虚数乗法を持ちます。

・具体例: ガウス整数環 \(\mathbb{Z}[i]\) （\(i\) は虚数単位）が格子となる場合、楕円曲線は \(i\) 倍の写像で保たれる対称性を持ちます。 

3. 重要性
・類体論: 虚数乗法は、アーベル拡大（ある体におけるガウス整数のような、特別な性質を持つ拡大）の構造を解明するために使われます。

・数論的性質: 虚数乗法を持つ楕円曲線は、特有の代数的な点（虚数乗法点）を持ち、数論の分野で重要な役割を果たします。

4歴史
・この概念は、19世紀の数学者クロネッカーらによって研究され、代数体や類体論の発展において重要な役割を果たしてきました。

要約すると、虚数乗法は、「複素数の倍数を掛けても、元の図形（楕円曲線）が形を変えずに自分自身に戻ってくる」という、特別な性質を持つ代数構造を指します。