>>224
Copilotの回答（文字変換後）

距離空間の「ε–δ連続」と、位相空間の「開集合の逆像が開」という定義が、
距離空間では実は同じことを言っている、という話をきちんと示してみよう。

1. 距離空間と位相空間の設定

・距離空間から誘導される位相

距離空間 (X,dX) に対して、
各点 X∈X 半径 ε>0 の開球を
BX(X,ε)={y∈X∣dX(X,y)<ε}と書く。
これら開球の任意和で得られる集合全体を
tX={U⊂X|∀X∈U, ∃ε>0, BX(X,ε)⊂U}
とすると、
(X,tX) は位相空間になる
（これを距離 dX が誘導する位相という）。

同様に、
距離空間 (Y,dY) から位相 tY を定める。

2. 2つの連続性の定義

・距離空間における連続性（ε–δ）

写像 f:(X,dX)→(Y,dY) が点 X0∈X で連続とは：
任意の ε>0 に対して、ある δ>0 が存在して
dX(X,X0)<δ ⇒ dY(f(X),f(X0))<ε
が成り立つこと。

全ての点 X0∈X で連続なら、f は連続写像という。

・位相空間における連続性（開集合の逆像）

位相空間 (X,tX),(Y,tY) の間の写像 f:X→Y が連続とは：
任意の開集合 V∈tY に対して、
その逆像 f^−1(V) が X で開、
つまり f^−1(V)∈tX となること。