>>246のつづき

4. 証明（ε–δ連続 ⇒ 開集合の逆像が開）
仮定： f は距離の意味で連続。
目標： 任意の開集合 V⊂Y に対し f^−1(V) が X で開。

(1)任意の開集合 V⊂Y を取る。
V が開であるとは、
任意の y∈V に対し、ある ε>0 が存在して
BY(y,ε)⊂V
となること。

(2)X0∈f−1(V) を取る。
これは f(X0)∈V を意味する。

(3)V が開なので、
ある ε>0 が存在してBY(f(X0),ε)⊂V.

(4)f が X0 で連続なので、
上の ε>0 に対して、ある δ>0 が存在して
dX(X,X0)<δ ⇒ dY(f(X),f(X0))<ε
が成り立つ。
これは
X∈BX(X0,δ) ⇒ f(X)∈BY(f(X0),ε)
すなわち
f(BX(X0,δ))⊂BY(f(X0),ε)⊂V
を意味する。

(5)よってBX(X0,δ)⊂f^−1(V)が得られる。
つまり、X0∈f^−1(V) に対して、
その周りに開球 BX(X0,δ) が
f^−1(V) の中に含まれている。

(6)これは
「任意の X0∈f^−1(V) に対し、ある δ>0 が存在して
BX(X0,δ)⊂f^−1(V)」
ということなので、
定義から f^−1(V) は X で開である。

したがって、ε–δ連続なら開集合の逆像は開、つまり位相の意味でも連続。