>>248のつづき

5. 証明（開集合の逆像が開 ⇒ ε–δ連続）
仮定： 任意の開集合 V⊂Y に対し f^−1(V) は X で開。
目標： 任意の点 X0∈X で ε–δ の意味で連続。

(1)任意の X0∈X と任意の ε>0 を取る。
目標は、ある δ>0 を見つけて
dX(X,X0)<δ⇒ dY(f(X),f(X0))<ε
を示すこと。

(2)Y の開球BY(f(X0),ε)は Y の開集合である。

(3)仮定より、その逆像U:=f^−1(BY(f(X0),ε))は X で開である。

(4)もちろん f(X0)∈BY(f(X0),ε) なので、X0∈U である。

(5)U が X で開であり、かつ X0∈U なので、
開集合の定義から、ある δ>0 が存在して
BX(X0,δ)⊂Uが成り立つ。

(6)したがって、
任意の X∈X で dX(X,X0)<δ なら X∈U、
すなわちf(X)∈BY(f(X0),ε)となる。これは
dY(f(X),f(X0))<εと同値。

(7)よって、任意の ε>0 に対し、
そのような δ>0 が存在することが
示されたので、
f は X0 で ε–δ の意味で連続。

(8)X0 は任意だったので、f は距離空間として連続。