>>280 つづき
(引用開始)
http://blog.livedoor.jp/ron1827-algebras/archives/cat_1275732.html
龍孫江の数学日誌
連結性, 連続性および位相について (その４)
2018年08月07日
今節の大きな目標は,「なぜ開写像／閉写像を連続と定義しなかったのか」を明らかにすることです. 使える道具と言えば開集合／閉集合と写像自身しかないのですから, 連続の定義に使えそうなのは「開集合の像がまた開集合である」か「開集合の逆像がまた開集合である」くらいしか思いつきません (正直に言えば, 思い付きはしますが幸せな結末は見えません). なぜ逆像が選ばれて像は選ばれなかったのでしょうか.
例 16.
2 次関数
f:R→R; f(x)=x^2, は閉写像だが開写像でない. 実際,
0 を含む開区間 (a,b), a<0<b, を考えれば, その f による像は
半開区間 [0,max(a^2,b^2))
であり, これは開集合ではない.
距離空間の場合には, やはり距離を用いて連続性を定義できます. 数学科の初年度で誰もが一度は苦しむ, 悪名高き
ϵ-δ 論法です.
(引用終り)

論点を整理しよう。論点は二つに分けられる
写像 ｆ：ｘ→ ｙで
１）定義域ｘにおけるある点ｘ0で ｘ0の象y0において「値域yのy0の近傍の開集合の逆像がまた ｘ0の近傍の開集合である」とき
　写像 ｆは y0 において連続
２）上記１）の条件のみで 写像の連続が 全て尽くされるか？

さて、命題１）には 反例はない。上記の例 16については 論点 ２）の話であって
f(x)=x^2 の逆像は y=x^2 と書き直すと ｘ＝±√y つまり 0 ≦ y で xは2価となって

>>291のように 複素関数に拡張して リーマン面を導入すると 一価に直せるが
原点 Z=0は 分岐点になり 特異点になるってことですね

だから 論点の ２）”では、上記１）の条件のみで 写像の連続が 全て尽くされるか？”
については、例外が存在する

まとめると
・命題１）には 反例はない
・しかし ２）”上記１）の条件のみで 写像の連続が 全て尽くされるか？”には、例外が存在する
（実関数では 龍孫江 例 16. f:R→R; f(x)=x^2 は、原点（0,0）で連続だが ）

注：＊ 平方根の関数 w=√z のリーマン面は 原点 z=0 は 分岐点
だが 実関数だけ考えていると これは見えない