>>700
後期高齢👴さん曰く
>実関数 y=f(x)で 点(x0,y0)で連続の定義
>位相空間論 開集合を使うと
>y0の周りに開集合が取れて
>　↓ 逆像f^-1
>x0の開集合

まず、y0の周りの開集合（開近傍）は存在すれば
fがどういう関数に関わらず、とれますよ

で、その逆像がx0の開集合になる、といってます？
「領域で連続」ではなく「ある点で連続」の定義の場合だと
そこまでいえないんじゃないですかね

定義の違い分かってますか？

>これから、コーシーの”ε-δ論法”：
>”任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、x0 との距離が δ 未満であるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さくなる：
>∀ε >0, ∃δ >0 s.t. ∀x ;[ |x-x0|<δ → |f(x)-f(x0)|<ε]”
>を構成するとしよう
>y0の周りに開集合→ |f(x)-f(x0)|<ε ∀ε >0 （正のεは任意に小さくできる＝∀）
>　↑ f ( "逆像f^-1" を使わず表現する)
>x0の開集合 → |x-x0|<δ （あるδが取れる。Rは完備距離空間なので δによる開集合は 自明）

上記（特に 「"逆像f^-1" を使わず表現する」の記載）
を読む限り、肝心な点が分かってないっぽいですね

”任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、x0 との距離が δ 未満であるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さくなる：
∀ε >0, ∃δ >0 s.t. ∀x ;\[ |x-x0|<δ → |f(x)-f(x0)|<ε]”
ってぶっちゃけ
”f(x0)の任意のε近傍に対して、x0のあるδ近傍 が存在し、x0のあるδ近傍のfの像は、f(x0)のε近傍の中に入る：
∀ε >0, ∃δ >0 s.t.f(Ｖ(x0,δ))⊂V(f(x0),ε)"
だから、以下と同じですよ
”f(x0)の任意のε近傍に対して、x0のあるδ近傍 が存在し、x0のあるδ近傍は、f(x0)のε近傍のfの逆像の中に入る：
∀ε >0, ∃δ >0 s.t.Ｖ(x0,δ)⊂ f^-1 (V(f(x0),ε))”

ほーら逆像f^-1がでてきたでしょ

（つづく）