いまいち見づらいので、
プログラミング風にして文字数を削減。

if(¬¬¬P){ (H1)
.　　Pと¬Pで場合分け。
.
.　　if(P){ (H2)
.　　　　¬Pと¬¬Pで場合分け
.
.　　　　if(¬P){
.　　　　　　H1,H2により矛盾。
.　　　　}
.　　　　if(¬¬P){ (L)
.　　　　　　H1,Lにより矛盾。
.　　　　}
.
.　　　　どちらも矛盾なので、このケースは矛盾。
.　　}
.
.　　if(¬P){
.　　　　このケースだけ生存。
.　　}
.
}

よって、¬¬¬P ⇒ ¬P である。