$F(u, v)$ を有理関数とする。 $F(\cos x, \sin x)$ が $\pi$ を周期とするときには、 $t = \tan x$ としてすでに有理化ができる。その場合には、$F(u, v) = F(-u, -v)$ で、それは $u^2, v^2$ および $uv$ の有理関数になり、従って、$F(\cos x, \sin x)$ は $\cos 2x$と$\sin 2x$との有理関数として表されるからである。

と高木貞治著『解析概論』に書いてありました。これについて証明をしてください。

Geminiに聞いたところ、はじめはごまかされましたが、問い詰めたところ、

F(u, v) = (u + v) * (u^2 + v^2 - 1)

という反例を答えてきました。

そして、

G(u, v) := (F(u, v) + F(-u, -v)) / 2 という有理関数を考えれば、

G(u, v) = G(-u, -v) かつ G(cos x, sin x) = F(cos x, sin x) が成り立つから、

F(cos x, sin x) の代わりに G(cos x, sin x) を考えればよいという素晴らしい解答を出してきました。

高木貞治の議論は間違っていましたね？