長い直線Lは
[0,1)×ω1に辞書式順序
(x,α)<(y,β) ⇔ α<β ∨ (x<y ∧ α=β)
で定義して順序位相を入れたモノという定義だけど
部分空間の
[0,1)×ω0=[0,∞)
へのR+の作用は普通に実数の積と考えて良いけれど
[0,1)×(ω0+ω0)=[0,∞)+[0,∞)
にはR+の作用が(0,ω0)のところで分離していて
[0,∞)+[0,∞)=[0,∞)
として考えてもR+の作用まで含めて[0,∞)にはならないから
こんな所で既にキモチワルイねえ
ところで
[0,1)×ω0^2までこの気持ち悪さは横に置いておいて位相的には[0,∞)てことはいいけれど
α<ω1（α∈ω1）についての部分空間
[0,1)×αがいつでも[0,∞)と同相になるのはどう証明するんだろ
超限帰納法で後続順序数の場合は
[0,1)×(α+1)=[0,1)×α+[0,1)=[0,∞)+[0,1)=[0,∞)
で問題ないけれど
αが極限順序数の場合つまりα=∪αの場合
[0,1)×α=[0,1)×∪α=[0,1)×∪_{β<α}β=∪_{β<α}[0,1)×β
でβ<αについて[0,1)×β=[0,∞)が言えているとしたとしても
[0,1)×α=[0,∞)としたいその[0,∞)のどこに個々の[0,1)×β=[0,∞)が入るんだろ
αの元が可算個だといっても順序まで含めてω0じゃないんだし
入れ方が想像付かないなあ