面白い数学の問題おしえて〜な 45問目

面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
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前スレ
面白い数学の問題おしえて〜な 44問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1乙🍛

もしR^4で有理的な三次元立体がR^3でも必ず有理的になるのが本当だとしたら、
つまり有理的な（成分が全て有理数であるような）任意の３つの四元数a,b,cに対して、
ある有理的な非零四元数xが存在して ax, bx, cx の実部が全て0になるってことか

本当かどうかはわからないけど、だとしたら四次元ってやっぱり色々と特別なんかな

前スレの問題のことなら
多面体
を
正多面体
と間違えて書いたのではと思ってる

前スレの問題多分四元数のテクニックで解けそうやな

ハミルトン代数 ℍ とその元 a に対して a 倍写像 a×(x) = ax は相似変換である。よってその部分超平面 ℙ の法線ベクトル が a である場合、aの共役元を a̅ とする時 a̅× によって ℙ は 1 を法線ベクトルとする超平面 ℍi + ℍj + ℍk に写される。とくに a が有理ベクトルである場合、ℙの有理点は a̅× によって ℍi + ℍj + ℍk の有理点に相似写像で写される。

>>6
正解です！
問1の方は誰も書いてないけど簡単すぎましたかね

(p,q)/(|p|*|q|)　=　(1-√5)/4　となる有理的なベクトル　p,q　は無い

>>8
そうですね
その両辺を2乗すれば有理数=無理数となります

kを正整数とする。
√{m-√(n)}+√{m+√(n)}=(1/k)√(mn)
を満たす正整数の組(m,n)を自然数解と呼ぶ。

（1）自然数解(m,n)が存在するならば、2k^2≦n<4nであることを示せ。

（2）それぞれのkに対して、自然数解がすくなくとも1つ存在し、その個数はk√2未満であることを示せ。

（3）k=3のとき、自然数解をすべて求めよ。
（↑ここまで早稲田理工2026）

（4）一般のkに対して自然数解をすべて求めよ。

>>10
訂正
2k^2≦n<4k^2

与式
⇔2m + 2√(m²-n) = mn/k²
が成立するには l = √(m²-n) が整数である事が必要であり、さらに
与式
⇔2m+2l = m(m²l²)
⇔2k² = m(m-l)...①
よって与式の自然数解(m,n)に対して①の自然数解(m,l)が一対一に対応する。また①の自然数解の個数はd(2k²)/2である。よってd(x)≦2√x...②を示せば良い
c(2) = 3/2
c(3) = 2/√3
c(p) = 1 ( p≧5 )
として
d(2ᵉ)≦c(2)√(2ᵉ)
d(3ᵉ)≦c(3)√(3ᵉ)
d(pᵉ)≦c(p)√(pᵉ)
が任意の素数pと非負整数 e について成立するから②は成立する。

>>12
面白さはそんなにないですか？

そこそこ面白い希ガス

>>12の式
2k² = m(m-l)...① n = m² - l²
を得た事で>>10の(1)~(3)が誘導と関係なしに
ほぼ同時に解けたような感じだけど
誘導にそった想定解が別にあるのかな

(2)は2k²=mm' ( m>m' )と分解する組み合わせの上限が m=m'の場合の√(2k²)で
m=1~√(2k²)を全部カウントしただけですね

√(2001√(2000√(1999√(1998√(1997√(1996√(1995√(1994×1992+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)
を求めよ

2000

1994×1992+1=(1993+1)(1993-1)+1=1993^2
以下同様で
2000

お見事です

BC=10、∠BAC=80°、∠ABC=50°の△ABCがある。
辺CA上に点Pを、∠PBC=10°となるようにとる。APの長さを求めよ。

>>21
△ABPにおいて正弦定理よりAB/sin60°=AP/sin40°
∴AP=2ABsin40°/√3=2・5/√3=10√3/3

BからACに下ろした垂線の足をMとする
AP=AM+MP=BM*tan(∠ABM)+BM*tan(∠PBM)
=BC*sin(50°){tan(10°)+tan(30°)}=BC*tan(30°)=10/√3

∵
sin(50°){tan(10°)+tan(30°)}
=cos(40°){tan(20°)tan(30°)tan(40°)+tan(30°)} ; ※
=tan(30°)cos(2t){tan(t)tan(2t)+1} ; t=20°
=tan(30°)

※　公式　tan(3x)=tan(x)tan(π/3+x)tan(π/3-x)　にx=10°を代入し変形

AB = 5/cos50° から △ABP に正弦定理

>>21
正弦定理を使わない方法
AからBCに下ろした垂線の足をE、AからBPに下ろした垂線の足をFとすると、
四角形BEFAは等脚台形でBE=AF
AP=(2/√3)AF=(2/√3)BE=BC/√3=10/√3

a_{n+1}=(a_n^2+a_n)/n (n=1,2,3,…)
で定まる数列の全ての項が整数となるa_1を全て求めよ。

-2, -1, 0, 1

>>27
それに限ることを示せ、という問題です

>>28
ヒントおながいします

A:=Π[k=1,N]a_{k},B:=Π[k=1,N](a_{k}+1) とすると a_{1}*A*B=N!*A*a_{N+1}

>>30
kwsk

A=0とA≠0に分けて、前者は省略。後者なら
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)*(a_{3}+1)*...*(a_{N-1}+1)*(a_{N}+1)=N!*a_{N+1}　が成立。
N=2,N=3のとき、
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)=2*a_{3}
a_{1}*(a_{1}+1)*(a_{2}+1)*(a_{3}+1)=2*a_{3}*(a_{3}+1)=3!*a_{4}
...以下同様。つまり、
a_{1}*(a_{1}+1)=2,a_{n}=n(n≧2)で成立

>>32
いや、そこではなくてそこからどうやって「a_1 ≠ -2,-1,0,1 のときある項が整数とならない」を示す？
示せないけど気づいたこと書いただけ？