面白い数学の問題おしえて〜な 45問目

面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
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面白い数学の問題おしえて〜な 44問目
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下手に考えだすよりもゲスな癖で大正解、なところが面白いという問題かな？

>>101の問題は
「同じ集合の異なる3数の組はピタゴラス数ではない」
で、解は7824

>>99の問題は
「ピタゴラス数の小さい方から2つは異なる集合」
だけでよいので
解はこれよりも小さくなる

nを40まで増やすと
{9, 12, 16, 30, 40}
の平方数成立の関係が5角形になり
5つの数を2つの集合に分けられなくなる
よって、最大のnは39

>>103
本当に合ってる？

すくなくとも
6,19,30
が同様の性質もつから無理やん
「３９以下では不可能」
の証明やってなかったんやろな

1と3は同じグループではない
1と8は同じグループではない
1と15は同じグループではない
3と6は同じグループではない
よって
　{1, 6}
　{3, 8, 15}
6と10は同じグループではない
15と10は同じグループではない
すると10はどちらのグループにも属さないので矛盾
従ってn≧15は不可

1-3-6-10-15 ですか

>>107
それが>>103の最小五角形にあたるのだろう、おそらく。

{1,2,...,14}を二つの集合A,BにわけてAのどの２元の和も平方数でなく、Bのどの２元の和も平方数でないようにできるか？

はい、分けることができます。以下のように集合 A と集合 B 割することで、どちらの集合でも「どの2つの元の和も平方数（4, 9, 16, 25など）にならない」という条件を満たすことができます。

分割の具体例集合

A = {1, 2, 4, 6, 9, 11, 13} B = {3, 5, 7, 8, 10, 12, 14}

集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}の部分集合A={a_1, a_2, ..., a_n}を考える
ただし、a_1＜a_2＜...＜a_nとする
nは7以下
このとき、S(A)=a_n - a_(n-1) + a_(n-2) - … ± a_1を考える
つまり、大きい順にプラスマイナスを交互につけて和を求める
たとえば、
A={1, 3, 5, 7}のとき、S(A)=7-5+3-1=4
A={1, 2, 3, 5, 6}のとき、S(A)=6-5+3-2+1=3
となる
ただし、Aが空集合のときはS(A)=0とする

問、全てのAについてS(A)を求めて、その総和を出せ（エレガントに）

最大の数以外は＋と－の回数が等しいから
総和をとると相殺される

総和は 7×2^(7－1)

お見事です

正の実数 a,b が無理数の時、a^b + b が有理数になることはあるか。

結論から申し上げますと、ご指摘の通り、ゲルフォント＝シュナイダーの定理を正しく適用すると、「\(\alpha, \beta, \alpha^\beta\) がすべて代数的数（かつ \(\alpha \neq 0, 1\)）であるならば、\[\beta \] は必ず有理数でなければならない」というのは正しい（Yes）です。 

x ^ √2 + √2 = 2 の解 x=α が有理数とすると α、√2、α^√2 = 2 - √2 のすべてが代数的数、α≠0,1、で √2 が有理数となり矛盾

>>114
正解
ゲルフォントシュナイダー使えたんかこれ…

一応想定解
(√2)^x + x = 3 の実解で x>1 となるものをとる。
この x が有理数 p/q (p,qは正の整数で互いに素)であると仮定すると
√2^(p/q) = (3q-p)/q.
両辺を2q乗して整理すると
2^p × q^(2q) = (3q-p)^(2q) …(A)
を得る。
(A)の左辺の 2^p 以外の因子と右辺は全て平方数であるから、2^p も平方数なのでpは偶数。
(A)の左辺は偶数なので右辺の累乗の中身も偶数。よって q も偶数。
これは互いに素の仮定に反するので矛盾。
ゆえに x は無理数である。

ある無理数 0<b<1 に対して (1-b)^{1/b} は無理数 … (1)
を認めると、a=(1-b)^{1/b} と置けば、
a, b は無理数で a^b + b = 1 すなわち a^b+b は有理数。

あとは(1)を示せばよい。
(1-x)^{1/x} は x∈(0,1)上で狭義単調減少である … (2)
を認めると、無理数 x∈(0,1) を動かしたときの (1-x)^{1/x} は
全て異なるので、特に非可算無限個あり、
その全ての (1-x)^{1/x} が有理数であることはあり得ない。
よって、ある無理数 x∈(0,1) に対して (1-x)^{1/x} は無理数となる。

あとは(2)を示せばよい。f(x)=(1/x)log(1-x) (0<x<1)と置く。
f(x)が(0,1)上で狭義単調減少であることを示せば十分である。
−log(1-x) = Σ[k＝1〜∞] x^k/k (0<x<1) により
−f(x) = Σ[k＝1〜∞] x^{k-1}/k (0<x<1) であり、
右辺は 0<x<1 について狭義単調増加なので、
f(x) は 0<x<1 について狭義単調減少である。

>>116
いま気づいたけど、これ a,b ともに超越数にできるな。

ある正の超越数 a,b に対して a^b+b は有理数になる。実際、
ある超越数 0<b<1 に対して (1-b)^{1/b} は超越数 … (1)
を認めると、a=(1-b)^{1/b} と置けば、
a, b は超越数で a^b + b = 1 すなわち a^b+b は有理数。

あとは(1)を示せばよい。
(1-x)^{1/x} は x∈(0,1)上で狭義単調減少である … (2)
を認めると、超越数 x∈(0,1) を動かしたときの (1-x)^{1/x} は
全て異なるので、特に非可算無限個あり、
その全ての (1-x)^{1/x} が代数的数であることはあり得ない。
よって、ある超越数 x∈(0,1) に対して (1-x)^{1/x} は超越数となる。

あとは(2)を示せばよいが、それは>>116と同じ。

e^x + x = 100 の実数解を α とする。αが代数的とすると

　e^α + (α-100)e^0 = 0

となり {e^α,e^0} は \bar{ℚ} 上線形従属になるが、これは Lindemann の定理に反する。

一般化。

O⊂R^2 は開集合とする。(a,b)∈O とする。
f:O→R はC^1級で f(a,b)＝0, f_x(a,b)≠0, f_y(a,b)≠0 とする。
このとき、超越数x,yであって、(x,y)∈O かつ f(x,y)＝0 を
満たすものが存在することを示せ。

f_x(a,b)≠0, f_y(a,b)≠0
条件ゆるくない？f_x ≠ 0、f_y=0 でも g(x,y) = f(x+y,x-y) とすればg_x,g_y≠0 になってしまうけど？det( J_(a,b) (f) ) ≠ 0 じゃないの？

>>120
＞ f_x ≠ 0、f_y=0 でも g(x,y) = f(x+y,x-y) とすればg_x,g_y≠0

なぜ f_y＝0 を持ち出しているのか分からないが、f_y＝0 なら反例がある。

f：R^2 → R を f(x,y)＝x と置くと、f_x≠0, f_y＝0 であり、
f(x,y)＝0 を満たす超越数 x,y は存在しない(xの方を超越数にできない)。

一方で、問題文の仮定では f_y＝0 なんて言ってないので、
こういう反例は出てこない。

>>120
f(x,y)＝x の場合に g(x,y)＝f(x+y,x-y) を考えると、
g(x,y)＝x+y なので g_x≠0, g_y≠0 であり、
また g(0,0)＝0 なので、もし >>119 が正しいと認めるなら、
超津数 x,y であって g(x,y)＝0 を満たすものが取れる。
つまり f(x+y, x-y)＝0 を満たす超越数 x,y が取れる。
A＝x＋y, B＝x−y と置けば、f(A,B)＝0 となるので、
もし A,B が超越数なら

＞f(x,y)＝0 を満たす超越数 x,y は存在しない(xの方を超越数にできない)。

に矛盾するので、>>119 は間違っていることになる。
>>119は条件が足りてないのではないか？

・・・という意図であるなら、その指摘には穴がある。
x,y が超越数であっても、A＝x＋y, B＝x−y と置いたときの
A,B は必ずしも超越数ではないからだ。

いや、ふつうこのての問題の条件で f_x(a,b)≠0、f_y(a,b)≠0 なんてありえない設定だとおもうけど？理由もつたえてるけど、つたわらないなら過去の教科書みてみたらいい。そんな条件設定してる問題みたことある？そんな条件意味ないんだよ。

>>123
意味不明。>>119の反例が提示されてるわけでもなく、
>>119が正しいことの証明が提示されてるわけでもない。
ただ単に「そんな条件は見たことが無い」という感想文を
述べているだけ。何がしたいの？

「f_x≠0 かつ f_y≠0」という条件を緩めても
>>119が成り立つと言いたいなら条件を緩めればいいが、
実際には f_x≠0 かつ f_y＝0 だと反例があり、
f_x＝0 かつ f_y≠0 でも反例がある。
ゆえに「f_x≠0 かつ f_y≠0」は必須である。

「f_x≠0 かつ f_y≠0 でも反例を見つけた」

ってことなら「そんな条件意味ない」と言えるけど、
反例が提示されてるわけでもない。何がしたいの？

fが超越的な零点を持つことは平行移動や回転で保たれる性質じゃないってことよね

もしその性質（超越的な零点を持つこと）が平行移動や回転によらずfの関数の形だけで決まるなら
「問題の条件で f_x≠0, f_y≠0 という制限を設けた所で、それってfの関数の形に対する本質的な制限になってないよね」
という指摘は一定正当性はあるけど、今回の場合は
「そもそもfの形だけを制限するための条件ではない。回転等で結果が崩れ得る（実際）条件を制限するために設けている条件である」
そうではない、ということかと

うわ、途中送信しちゃった
（実際）は（実際回転等で性質が保たれなくなる反例は >>121 で構成されている）って書きたかった