結論から申し上げますと、ご指摘の通り、ゲルフォント＝シュナイダーの定理を正しく適用すると、「\(\alpha, \beta, \alpha^\beta\) がすべて代数的数（かつ \(\alpha \neq 0, 1\)）であるならば、\[\beta \] は必ず有理数でなければならない」というのは正しい（Yes）です。 

x ^ √2 + √2 = 2 の解 x=α が有理数とすると α、√2、α^√2 = 2 - √2 のすべてが代数的数、α≠0,1、で √2 が有理数となり矛盾