ある無理数 0<b<1 に対して (1-b)^{1/b} は無理数 … (1)
を認めると、a=(1-b)^{1/b} と置けば、
a, b は無理数で a^b + b = 1 すなわち a^b+b は有理数。

あとは(1)を示せばよい。
(1-x)^{1/x} は x∈(0,1)上で狭義単調減少である … (2)
を認めると、無理数 x∈(0,1) を動かしたときの (1-x)^{1/x} は
全て異なるので、特に非可算無限個あり、
その全ての (1-x)^{1/x} が有理数であることはあり得ない。
よって、ある無理数 x∈(0,1) に対して (1-x)^{1/x} は無理数となる。

あとは(2)を示せばよい。f(x)=(1/x)log(1-x) (0<x<1)と置く。
f(x)が(0,1)上で狭義単調減少であることを示せば十分である。
−log(1-x) = Σ[k＝1〜∞] x^k/k (0<x<1) により
−f(x) = Σ[k＝1〜∞] x^{k-1}/k (0<x<1) であり、
右辺は 0<x<1 について狭義単調増加なので、
f(x) は 0<x<1 について狭義単調減少である。