与式
⇔2m + 2√(m²-n) = mn/k²
が成立するには l = √(m²-n) が整数である事が必要であり、さらに
与式
⇔2m+2l = m(m²l²)
⇔2k² = m(m-l)...①
よって与式の自然数解(m,n)に対して①の自然数解(m,l)が一対一に対応する。また①の自然数解の個数はd(2k²)/2である。よってd(x)≦2√x...②を示せば良い
c(2) = 3/2
c(3) = 2/√3
c(p) = 1 ( p≧5 )
として
d(2ᵉ)≦c(2)√(2ᵉ)
d(3ᵉ)≦c(3)√(3ᵉ)
d(pᵉ)≦c(p)√(pᵉ)
が任意の素数pと非負整数 e について成立するから②は成立する。