>>120
＞ f_x ≠ 0、f_y=0 でも g(x,y) = f(x+y,x-y) とすればg_x,g_y≠0

なぜ f_y＝0 を持ち出しているのか分からないが、f_y＝0 なら反例がある。

f：R^2 → R を f(x,y)＝x と置くと、f_x≠0, f_y＝0 であり、
f(x,y)＝0 を満たす超越数 x,y は存在しない(xの方を超越数にできない)。

一方で、問題文の仮定では f_y＝0 なんて言ってないので、
こういう反例は出てこない。